第11章重積分

「体積」を、細かい柱で足し上げる

一変数の積分は「曲線の下の面積」でした。多変数—— $z=f(x,y)$ の下の体積も、発想はまったく同じです。平面を細かいマス目に刻み、各マスの上に高さ $f$ の細い四角柱を立て、その体積を全部足す。刻みを細かくした極限が重積分です。

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\text{刻み}\to0}\sum_{i,j} f(x_i,y_j)\,\Delta x\,\Delta y.$

定義は素直ですが、実際にこの二重の和の極限を直接計算するのは無理。そこで「一方向ずつ積分する」という現実的な計算法（累次積分）と、「座標を取り替えて簡単にする」という強力な武器（変数変換）を手に入れます。

累次積分とフビニの定理

定理フビニの定理

$f$ が長方形 $[a,b]\times[c,d]$ で連続なら、重積分は積分の順序によらず累次積分で計算できる： $\iint_D f\,dA=\int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx=\int_c^d\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.$

心は「立体を、 $x$ 一定の断面積を集めて作る」（ $\int(\text{断面積})dx$ ）。まず内側で $y$ について積分すると $x$ での断面積が出て、それを $x$ で積分すれば体積。一般の領域 $D$ でも、 $D$ を $a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)$ のように挟めば同様に累次化できます。

注意順序交換には条件が要る

フビニは連続（や絶対可積分）で成り立つが、絶対収束しないと順序交換で値が変わりうる。これは第3章「級数の再配列」の重積分版。安全なのは $\iint|f|<\infty$ のとき（トネリの定理）で、厳密な扱いは第20章の測度論に委ねられます。順序交換はタダではない、と覚えておく。

変数変換：ヤコビアンという「拡大率」

一変数の置換積分 $\int f(g(u))g'(u)\,du$ で、 $g'(u)$ は「 $u$ が動くとき $x$ がどれだけ伸びるか」の倍率でした。多変数では、面積・体積の拡大率が行列式で表れます。

定理変数変換公式

$\mathbf x=\Phi(\mathbf u)$ を $C^1$ の全単射とすると $\iint_D f(\mathbf x)\,dx\,dy=\iint_{\Phi^{-1}(D)} f(\Phi(\mathbf u))\,\bigl|\det D\Phi(\mathbf u)\bigr|\,du\,dv.$ $\bigl|\det D\Phi\bigr|$ をヤコビアンという。

例極座標変換

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ のヤコビアンは $\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}\right|=r$ 。よって $\iint f\,dx\,dy=\iint f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.$ 円や放射状に対称な問題が劇的に簡単になる。3次元では球座標でヤコビアン $r^2\sin\theta$ 。

ガウス積分：極座標の名場面

一変数では原始関数が初等関数で書けず手も足も出ない $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ が、 2乗して2次元にすると一気に解けます。

例ガウス積分

$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ とおくと $I^2=\iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac12=\pi.$ よって $I=\sqrt\pi$ 。極座標のヤコビアン $r$ が $e^{-r^2}$ の微分とかみ合って一発で積分できる、広義重積分の白眉です。

特殊関数：積分で定義される関数

積分は新しい関数を生み出します。階乗を実数・複素数へ拡張したのがガンマ関数です。

定義ガンマ関数・ベータ関数

$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt\ (s>0),\qquad B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt.$ $\Gamma(n)=(n-1)!$ 、 $\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s)$ 、 $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ （ガウス積分から）。両者は $B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ で結ばれる。

漸化式 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ は部分積分で出ます。 $\Gamma$ は $(n-1)!$ を「点」から「なめらかな曲線」へ補間したもの、と見ると親しみが湧きます。大きな階乗の近似も、この流れで得られます。

定理スターリングの公式

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^n\qquad(n\to\infty).$

$\Gamma(n+1)=\int t^n e^{-t}dt$ の被積分関数が $t=n$ に鋭いピークをもつことを使い、ピーク周りを $e^{-x^2}$ 型で近似する（ラプラスの方法）。確率論の中心極限定理などで多用されます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

変数変換で絶対値を忘れる。 つく倍率は $|\det D\Phi|$ 。符号を落とすと面積が負になる。
積分順序はいつでも交換できるわけではない。 非負や絶対可積分（トネリ・フビニ）が条件。
極座標の面積要素は $dr\,d\theta$ ではなく $r\,dr\,d\theta$ 。ヤコビアン $r$ を落とすのは頻出ミス。

この章のまとめ

重積分は「細い柱の体積を足す」和の極限。計算はフビニの定理で累次積分に落とす（順序交換は絶対可積分が条件）。
変数変換の要はヤコビアン $|\det D\Phi|$ ＝面積の拡大率。極座標（ $r$ ）・球座標（ $r^2\sin\theta$ ）で対称な積分が激減する。線形代数の行列式が主役。
極座標はガウス積分 $\sqrt\pi$ を解き、そこからガンマ・ベータ関数やスターリングの公式が広がる。

いよいよ最終章。曲線・曲面上の積分と、微積分学の総仕上げベクトル解析の積分定理へ。

第11章 重積分