第3章級数の収束

無限に足す、を安全に扱う

$\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$ 。これは納得できます。では $1+2+3+\cdots$ は？もちろん無限大。じゃあ $1-1+1-1+\cdots$ は？ ——ここで人によって答えが割れます。 $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$ とも、 $1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$ とも見える。

「無限に足す」を素朴にやると、足す順番や括弧の付け方で答えが変わる。これは前章の「近づく」の曖昧さと同じ病気です。治療法も同じ——極限に帰着させます。

級数 $\sum a_n$ の値とは、有限和（部分和） $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$ の極限のこと。「無限個を一気に足す」のではなく、「有限で足して、極限をとる」と定義し直す。

定義と、いちばん基本の注意

定義級数の収束

部分和 $S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$ が値 $S$ に収束するとき、級数 $\sum a_n$ は収束し $\sum_{n=1}^\infty a_n=S$ と書く。収束しないとき発散という。

命題収束の必要条件

$\sum a_n$ が収束すれば $a_n\to0$ 。（対偶： $a_n\not\to0$ なら発散。）

これは $a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$ から出ます。ただし逆は成り立たないのが最大の落とし穴。 $a_n=\frac1n\to0$ なのに $\sum\frac1n$ （調和級数）は発散します（ $\frac13+\frac14>\frac12$ 、 $\frac15+\cdots+\frac18>\frac12$ …と、 $\frac12$ を無限回足せる）。「項が $0$ に行くから収束するはず」は誤り。ここは全員が一度引っかかります。

正項級数：判定法は「知っている級数と比べる」

項がすべて $\ge0$ のとき、部分和は単調増加。だから前章の単調有界 $\Rightarrow$ 収束が使え、「収束する $\iff$ 部分和が上に有界」になります。あとは基準になる級数と比較するだけ。

定理比較判定法

$0\le a_n\le b_n$ のとき、 $\sum b_n$ 収束 $\Rightarrow \sum a_n$ 収束。 $\sum a_n$ 発散 $\Rightarrow \sum b_n$ 発散。

基準として覚えるべきは2つ。等比級数 $\sum r^n$ は $|r|<1$ で収束、 $p$ 級数 $\sum \frac1{n^p}$ は $p>1$ で収束・ $p\le1$ で発散。これらと比べるのが実戦です。比較を極限の形にした極限比較判定法（ $\lim a_n/b_n$ が正の有限値なら同じ挙動）も便利。

定理ダランベール（比）判定・コーシー（根）判定

$\displaystyle L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ または $\displaystyle L=\lim\sqrt[n]{|a_n|}$ が $L<1$ なら収束、 $L>1$ なら発散、 $L=1$ なら判定不能。

どちらも「実質、等比級数と比べている」。比 $r=L$ の等比級数に化けるからです。 $L=1$ で無力なのは、 $p$ 級数がすべて $L=1$ になり収束・発散が混在するため。

定理積分判定法

$f$ が正・単調減少で $a_n=f(n)$ のとき、 $\sum a_n$ と $\int_1^\infty f\,dx$ は同時に収束・発散する。

和を「棒グラフの面積」、積分を「曲線の下の面積」とみて挟む発想。 $p$ 級数の判定はこれで一発（ $\int_1^\infty x^{-p}dx$ が $p>1$ で収束）。

符号が揺れるとき：交項級数と絶対収束

正項級数の話は「単調増加の部分和」に頼っていました。符号が揺れると使えません。まず、揺れの中でも特別扱いできるのが交項級数です。

定理ライプニッツの判定法

$b_n\ge0$ が単調減少で $b_n\to0$ なら、交項級数 $\sum(-1)^{n-1}b_n$ は収束する。

部分和が「行って戻って」を幅を狭めながらくり返し、区間縮小法で一点に挟まる、というのが証明の心。これで $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ （ $=\ln2$ ）は収束します。 $\sum\frac1n$ は発散したのに、符号を交互にしただけで収束する——符号の助けを借りた、きわどい収束です。

定義絶対収束と条件収束

$\sum|a_n|$ が収束するとき $\sum a_n$ は絶対収束する。 $\sum a_n$ は収束するが $\sum|a_n|$ は発散するとき条件収束するという。

定理絶対収束 ⇒ 収束

$\sum|a_n|$ が収束すれば $\sum a_n$ も収束する。

これは完備性（コーシー列）から出ます。 $|\sum_{n=m}^k a_n|\le\sum_{n=m}^k|a_n|$ なので、 $\sum|a_n|$ のコーシー性が $\sum a_n$ のコーシー性を運んでくれる。 絶対収束は「符号の助けなしで収まる、丈夫な収束」。上の $\ln2$ の級数は条件収束（きわどい方）です。

なぜ区別するのか：リーマンの再配列定理

ここで章の冒頭の「順番で答えが変わる」問題が戻ってきます。

定理リーマンの再配列定理

条件収束する級数は、項の順番を並べ替えることで任意の実数に収束させられる（ $\pm\infty$ も、発散も可能）。一方、絶対収束級数はどう並べ替えても和が変わらない。

条件収束は、正の項だけ・負の項だけを集めるとどちらも $+\infty,-\infty$ に発散する状態。だから「正を少し足しては目標を超え、負を少し足しては下回り…」と綱引きすれば、狙った値に寄せられる。 足し算の交換法則は、無限では絶対収束のときしか信用できない——これがこの章の一番大事な教訓です。

注意発展：アーベル・ディリクレの判定法

$\sum a_n b_n$ の形で、 $\sum a_n$ の部分和が有界・ $b_n$ が単調で $0$ へ、といった条件で収束を言う判定法。ライプニッツを一般化したもので、フーリエ級数の収束などで効きます（詳細は別章で）。

この章のまとめ

級数は「無限に足す」ではなく部分和の極限。 $a_n\to0$ は必要条件にすぎず、十分ではない（調和級数）。
正項級数は単調有界に帰着。判定は結局等比級数・ $p$ 級数と比較しているだけ。
絶対収束＝丈夫な収束、条件収束＝符号頼みのきわどい収束。並べ替えて和が保たれるのは絶対収束だけ。

次章は、各項が $x$ の関数である特別な級数——べき級数で、関数を無限次多項式として扱います。