第6章テイラー展開

「その場しのぎの多項式」を高次まで押し上げる

微分の第一歩は「接線で近似する」ことでした。 $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ 。点 $a$ のまわりで、関数を直線で置き換える近似です。悪くないけれど、 $a$ から離れるとすぐズレる。曲がっている関数を直線で真似るのだから当然です。

ではもっと良くしたい。2次曲線なら曲がりも真似できる。3次ならもっと。「 $a$ での値・傾き・曲がり…を、できる限り高次まで一致させた多項式」を作れば、 $a$ の近くで関数にぴったり吸い付くはず——これがテイラー展開の発想です。

下で $\sin x$ を近似してみましょう。項数（次数）を上げるほど、朱色の多項式が原点から外へと $\sin x$ に吸い付いていきます。

使う項数 = 1（次数 1 まで）

テイラーの定理

「 $a$ での微分係数を $n$ 次まで一致させる多項式」は、係数を合わせれば一意に決まります。

定義テイラー多項式

$f$ が $a$ で $n$ 回微分可能なとき、 $P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ を $a$ における $n$ 次テイラー多項式という（ $a=0$ のときマクローリン多項式）。

肝心なのは誤差 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ （剰余項）がどれだけ小さいか。これを評価できて初めて「近似できた」と言えます。前章の平均値定理が、ここで高次に化けます。

定理テイラーの定理（ラグランジュの剰余）

$f$ が $[a,x]$ で $n+1$ 回微分可能なら、 $a$ と $x$ の間のある $c$ で $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}.$

$n=0$ とすると $f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)$ ——ちょうど平均値定理です。テイラーの定理は平均値定理を高次に伸ばしたもの、という見方ができます。剰余の形が「次の次数の項に、 $a$ の代わりに未知の点 $c$ を入れたもの」になっているのが要点。

定理積分形の剰余

$f$ が $C^{n+1}$ 級なら $R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)\,dt.$

ラグランジュ形は「未知の $c$ 」で扱いやすい反面、 $c$ の位置が分からない。積分形は $c$ を使わず剰余をきっちり式で書くので、より精密な評価に向きます（部分積分をくり返すと導けます）。用途で使い分けます。

主要関数のマクローリン展開

剰余が $n\to\infty$ で $0$ に行けば、無限級数（第4章のべき級数）として関数そのものに一致します。覚えておくべき基本を挙げます（すべて $a=0$ ）。

$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\qquad \sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\ (|x|<1),\qquad \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\ (|x|\le1,x\ne-1)$

$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}x^n\ (|x|<1)\quad(\text{一般二項展開})$

$e^x,\sin x,\cos x$ は全実数で成立（剰余の $f^{(n+1)}$ が有界で $(n+1)!$ に負ける）。一方 $\ln(1+x)$ や $\frac1{1-x}$ は収束半径 $1$ で、範囲に注意が要ります。

例オイラーの公式が見える

$e^{ix}$ の展開を実部・虚部に分けると、 $\cos x$ と $\sin x$ の級数がちょうど現れ、 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 。テイラー展開は、指数関数と三角関数が実は親戚だと暴きます（複素解析で本格的に扱います）。

近似の言葉：ランダウ記号

「 $a$ の近くでの誤差の大きさ」を毎回書くのは面倒なので、記号で圧縮します。

定義ランダウの記号

$x\to a$ で $\dfrac{g(x)}{h(x)}\to0$ のとき $g(x)=o(h(x))$ （ $h$ より高位の無限小）、 $\left|\dfrac{g(x)}{h(x)}\right|$ が有界のとき $g(x)=O(h(x))$ と書く。

これを使うと、テイラー展開は $f(x)=P_n(x)+o((x-a)^n)$ と短く書けます。「 $n$ 次多項式で近似したときの誤差は、 $(x-a)^n$ よりさらに速く $0$ に行く」という意味。極限計算では、必要な次数まで展開して $o$ でまとめるのが定石です。

例ランダウ記号で極限を瞬殺する

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}$ 。 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ を代入すると $\dfrac{-x^3/6+o(x^3)}{x^3}\to-\dfrac16$ 。ロピタルを3回使うより速い。

つまずきポイント

注意よくある誤解

「無限回微分できる ⇒ テイラー級数が $f$ に一致」ではない。 $e^{-1/x^2}$ （ $x=0$ で $0$ ）はすべての微分係数が $0$ でテイラー級数は恒等的に $0$ なのに、 $f$ 自身は $0$ でない。剰余が消えない例。
ランダウ記号は「向き」がある。 $o(x^3)=o(x^2)$ は正しいが逆は誤り。等号は左から右への一方通行。
剰余 $R_n$ の $c$ は存在するだけ。値は不明でも、 $|f^{(n+1)}|$ の上界さえ分かれば誤差評価はできる。

この章のまとめ

テイラー展開は「接線近似」を高次へ拡張したもの。 $a$ での微分係数を $n$ 次まで一致させる多項式で関数を近似する。
精度は剰余項で測る。ラグランジュ形（未知の $c$ ）と積分形（式で明示）を使い分ける。テイラーの定理は平均値定理の高次版。
$e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x),(1+x)^\alpha$ の展開は暗記。ランダウ記号で誤差を圧縮すると極限計算が一気に楽になる。

次章は、これまで「面積」と素朴に呼んできたものを厳密に定義する——リーマン積分です。

第6章 テイラー展開