⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第8章 一様収束

「順番を入れ替えてよいか」という、静かな落とし穴

これまで何度も、極限・微分・積分・無限和を扱ってきました。 そして実は、あちこちで極限操作を無意識に入れ替えていました。 「無限和を項ごとに微分する」「極限をとってから積分する」——本当にやっていいのか？

こんな例があります。fn(x)=xnf_n(x)=x^n を [0,1][0,1] で考える。各点では fn(x)→f(x)={0(0≤x<1)1(x=1)f_n(x)\to f(x)=\begin{cases}0&(0\le x<1)\\1&(x=1)\end{cases} に収束します。 ところが、各 fnf_n は連続なのに、極限 ff は x=1x=1 で不連続。 「連続関数の極限は連続」と思いたいのに、崩れてしまった。

原因は収束の「質」です。各点ごとにはちゃんと近づくのに、近づく速さが場所によってバラバラで、 x=1x=1 の近くだけいつまでも追いつけない。この差を捉えるのが一様収束です。

各点収束は弱すぎて、連続・微分・積分と相性が悪い。 一様収束なら、これらの操作を安心して入れ替えられる。

各点収束と一様収束

定義 各点収束と一様収束

fn→ff_n\to f が各点収束：∀x, ∀ε>0, ∃N(x,ε), n≥N⇒∣fn(x)−f(x)∣<ε\forall x,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N(x,\varepsilon),\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon。

fn→ff_n\to f が一様収束：∀ε>0, ∃N(ε), ∀x, n≥N⇒∣fn(x)−f(x)∣<ε\forall\varepsilon>0,\ \exists N(\varepsilon),\ \forall x,\ n\ge N\Rightarrow|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon。

違いは NN の依存先ただ一点。各点収束は NN が点 xx ごとに変わってよい。 一様収束は NN が xx によらず全点共通。第5章の「連続 vs 一様連続」とまったく同じ構図です （δ\delta が点ごとか共通か、が今度は NN に置き換わっただけ）。

命題 上限ノルムによる特徴づけ

fn→f （一様）  ⟺  ∥fn−f∥∞:=sup⁡x∣fn(x)−f(x)∣→0.f_n\to f\ \text{（一様）}\iff \|f_n-f\|_\infty:=\sup_x|f_n(x)-f(x)|\to0.

「各点での差」ではなく「差の最大値（上限ノルム）」が 00 に行くこと。 グラフ全体を幅 ε\varepsilon の帯に閉じ込められる、というイメージです。 xnx^n の例では sup⁡[0,1]∣xn−f∣=1\sup_{[0,1]}|x^n-f|=1 のまま（x=1x=1 手前で 11 に迫る）で、00 に行かない。だから一様でない。

なぜ一様収束が「効く」のか

定理 連続性の保存

連続関数の列 fnf_n が ff に一様収束すれば、ff も連続。

証明は有名な「ε/3\varepsilon/3 論法」。∣f(x)−f(y)∣|f(x)-f(y)| を ∣f(x)−fn(x)∣+∣fn(x)−fn(y)∣+∣fn(y)−f(y)∣|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)| と3つに割り、 一様収束で両端を ε/3\varepsilon/3（nn を全点共通にとれるのがミソ）、真ん中を fnf_n の連続性で ε/3\varepsilon/3。 一様だからこそ、xx と yy で同じ nn が使える——ここが各点収束では真似できない一点です。

定理 項別積分の正当化

fn→ff_n\to f が [a,b][a,b] で一様収束し各 fnf_n が可積分なら、ff も可積分で ∫abf dx=lim⁡n→∞∫abfn dx.\int_a^b f\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n\,dx. （級数なら ∫∑=∑∫\int\sum=\sum\int、項別積分が許される。）

これは ∣∫fn−∫f∣≤∫∣fn−f∣≤∥fn−f∥∞(b−a)→0\left|\int f_n-\int f\right|\le\int|f_n-f|\le\|f_n-f\|_\infty(b-a)\to0 と、上限ノルムで一撃です。

定理 項別微分の条件

fn→ff_n\to f（各点でよい）かつ fn′f_n' が一様収束するなら、ff は微分可能で f′=lim⁡fn′f'=\lim f_n'。

微分は繊細で、fnf_n 自身の一様収束では足りず、導関数 fn′f_n' の一様収束が要る。 「近い関数どうしでも、傾きは全然違いうる」（細かく振動する波を思えばよい）ためです。 だからこそ、第4章のべき級数が「収束半径内で自由に項別微分できる」のは特筆すべき御利益でした。

実務の判定法

級数 ∑fn(x)\sum f_n(x) が一様収束するかを、いちいち上限ノルムで調べるのは大変。 そこで「各項を定数で上から押さえる」だけで済む便利な十分条件があります。

定理 ワイエルシュトラスの M 判定法

∣fn(x)∣≤Mn|f_n(x)|\le M_n（xx によらない定数）で ∑Mn<∞\sum M_n<\infty なら、∑fn\sum f_n は一様（かつ絶対）収束する。

数の級数 ∑Mn\sum M_n の収束（第3章の道具で判定できる）が、関数級数の一様収束を保証してくれる。 たとえば ∑sin⁡(nx)n2\sum \frac{\sin(nx)}{n^2} は ∣fn∣≤1n2|f_n|\le\frac1{n^2}、∑1n2<∞\sum\frac1{n^2}<\infty なので一様収束—— だから連続で、項別積分もできる。難しい一様収束を、易しい数列の収束に丸投げできるのが強みです。

定理 ディニの定理

有界閉区間上で、連続関数列 fnf_n が連続な ff に単調に各点収束すれば、収束は自動的に一様。

普通は各点収束から一様収束は出ません。でも「単調＋極限も連続＋コンパクト」の3条件が揃うと、 落ちこぼれの点が生じ得ず、各点収束が一様に格上げされる。コンパクト性が効く典型例です。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 「各点収束すれば lim⁡∫=∫lim⁡\lim\int=\int\lim」は誤り。 fn(x)=n xn(1−x)f_n(x)=n\,x^{n}(1-x) 型の「動くこぶ」は各点で 00 に 収束するのに積分値は 00 に行かない。極限と積分の交換には一様収束（や後の優収束定理）が要る。
  • M 判定法は十分条件にすぎない。 これで引っかからなくても一様収束することはある（アーベル・ディリクレ判定など）。
  • 一様収束は定義域に依存する。xnx^n は [0,a][0,a]（a<1a<1）では一様収束、[0,1][0,1] では一様でない。

この章のまとめ

  • 各点収束は NN が点ごと、一様収束は NN が全点共通。差は上限ノルム ∥fn−f∥∞→0\|f_n-f\|_\infty\to0 で測る。
  • 一様収束があれば連続性の保存・項別積分が保証される。項別微分だけは導関数側の一様収束が要る。
  • 実務ではM 判定法（数列の収束に帰着）と、コンパクト＋単調で効くディニの定理が主力。

一変数と収束の道具が完成しました。次章から舞台を多変数へ移し、 偏微分・全微分で「多変数の傾き」を定義し直します。