第9章 偏微分と全微分
「傾き」は一つではなくなる
一変数の微分は「その点での傾き」でした。数直線上では、進める方向は左右だけ。 ところが のような多変数になると、点の上に立ったとき進める方向は無数にあります。 東へ歩けば上り坂、北へ歩けば下り坂——方向ごとに傾きが違う。
だから「多変数の微分」は、一変数のように一つの数では済みません。 まず素直に「軸方向だけ見る」ところから始め、それでは足りないと気づいて、 「全方向をまとめて捉える」正しい定義へ進みます。この順で、つまずきどころが見えてきます。
偏微分：とりあえず一方向だけ
定義 偏微分
他の変数を定数とみなし、 についてだけ微分する。 とも書く。
やっていることは「 を固定して、 方向の断面だけで一変数の微分」。計算は簡単です。 でも、これだけでは関数の全体像を捉えられない。恐ろしい例があります。
例 偏微分が存在しても連続ですらない
（）は、原点で と 両方の偏微分が存在する。にもかかわらず、直線 に沿って原点に近づくと で、 は原点で連続でない。
一変数では「微分可能 ⇒ 連続」でした。多変数で偏微分だけを頼りにすると、それすら壊れる。 軸方向（東西・南北）しか見ていないので、斜め方向の異常を見逃すのです。 偏微分の存在は、良い微分可能性の代わりにならない——これが多変数最大の落とし穴です。
全微分：全方向をまとめて線形近似する
正しい「微分可能」は、一変数の本質——接線（線形関数）で近似できること——に立ち返って定義します。
定義 全微分可能
が点 で全微分可能とは、ある線形写像 （＝ベクトル）があって このとき接平面が引け、（これを勾配 という）。
要点は、 がどの方向から に近づいても、誤差が より速く消えること。 接「平面」でぴったり近似できる、が全微分の意味です。偏微分は「たまたま軸方向だけ合っていた」に すぎず、全方向で近似が成立して初めて本物、というわけです。
定理 全微分の基本性質と十分条件
- 全微分可能 連続、かつ全方向で偏微分・方向微分が存在する。
- 級（偏導関数が存在して連続） 全微分可能。
2が実務の要。偏微分の存在だけでは全微分は言えないが、偏導関数が連続でさえあれば全微分できる。 たいていの初等関数は なので安心して微分できますが、「連続性」という一手間が 偏微分と全微分の橋渡しをしている、と意識しておくと病的な例で事故りません。
勾配・方向微分・連鎖律
全微分できれば、任意方向の傾きが勾配一つから読めます。
定義 方向微分と勾配
単位ベクトル 方向の方向微分は 。 これは が と同じ向きのとき最大。すなわち勾配 は 関数が最も急に増える方向を指し、大きさはその傾き。
「山のどっちが一番の上り坂か」を教えるのが勾配。等高線と直交する、という図が頭に入ると強い。 最急降下法など最適化の基礎もここです。
定理 連鎖律（多変数）
、 が微分可能なら
一変数の連鎖律の自然な拡張。「 を動かすと各変数が動き、その効果を全部足す」。 全微分（線形近似）が成り立つからこそ、この足し算の形が正当化されます。 行列で書けば ——ヤコビ行列の積で、線形代数と直結します。
高階偏微分：順序を入れ替えてよいか
（ で微分してから ）と （逆順）は一致するか? 一般にはしない。 でも自然な条件下では一致します。
定理 シュワルツの定理（偏微分の順序交換）
と がともに存在して連続なら、。
「2階偏導関数が連続」なら順序を気にせず微分できる。これは第8章の「極限操作の交換」の一例で、 連続性（一様性）が交換を許す、という同じ精神です。この対称性のおかげで、次章以降の ヘッセ行列（2階偏微分を並べた行列）が対称行列になり、線形代数の対角化が使えます。
つまずきポイント
注意 よくある誤解
- 偏微分が全部あっても「微分可能（全微分）」とは限らない。 連続すら保証されない。全微分は線形近似で定義する。
- 勾配は「増加が最急な向き」。 等高線に沿う向きではない（そこは方向微分 ）。
- シュワルツの定理は連続性が条件。連続でないと となる病的な例が実在する。
この章のまとめ
- 多変数の「傾き」は方向ごとに違う。偏微分は軸方向だけの断片で、存在しても連続すら保証しない。
- 本物の微分は全微分＝接平面による線形近似。実用上は 級なら全微分可能が効く。勾配は最急増加方向。
- 高階ではシュワルツの定理（連続なら順序交換可）でヘッセ行列が対称になり、次章の極値判定に直結する。
次章は、この道具で**方程式が定める曲線（陰関数定理）と多変数の最大最小（極値問題）**を扱います。