⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第10章 加法圏とアーベル圏

ホモロジー代数の舞台を圏で作る

加群論やホモロジー代数では、加群の完全系列・核・像・商を 自在に扱いました。これらの操作の共通の舞台を、圏の言葉だけで定義したい。それがアーベル圏です。「加群の圏 ModR\mathbf{Mod}_R でできること」の本質を抽出し、圏論的に公理化する——すると、加群でなくても（層・表現・ 複体でも）同じ議論が回るようになります。

段階を踏んで組み立てます。まず「射が足せる」加法圏、次に「核・余核がある」条件を加えてアーベル圏。 最終的に、完全系列（第11章）と導来関手（第12章）が展開できる舞台を用意します。

アーベル圏＝「射を足せて（加法）、核と余核が整合的にある」圏。加群の圏を抽象化したホモロジー代数の舞台。

加法圏——射を足す

定義 加法圏

圏 A\mathcal A が加法圏とは、

  1. 各 Hom(A,B)\mathrm{Hom}(A,B) がアーベル群で、合成が双線形（h∘(f+g)=h∘f+h∘gh\circ(f+g)=h\circ f+h\circ g など）。
  2. 零対象 00（始対象かつ終対象）をもつ。
  3. 任意の有限個の対象が双積 A⊕BA\oplus B（積かつ余積が一致）をもつ。

条件 1「射が足せる」が加法圏の心です。ModR\mathbf{Mod}_R（加群と準同型）では、二つの準同型 f,gf,g の和 f+gf+g が また準同型——この当たり前を公理にします。すると「零射」0:A→B0:A\to B が意味をもち、f−gf-g が引けて、 射の“差”を考えられる。ホモロジー（差をとって輪を測る）の準備が整います。条件 3 で積と余積が一致する （Vect\mathbf{Vect} の直和＝直積のように）のも加法圏の特徴です。

核と余核——像と商を圏で捉える

加群では、準同型 f:A→Bf:A\to B の核 ker⁡f={a:f(a)=0}\ker f=\{a:f(a)=0\} と余核 cokerf=B/imf\mathrm{coker}f=B/\mathrm{im}f を作れました。 これを普遍性（第4・5章）で定義し直します。核は「ff で 00 に潰れる部分」への普遍的な射です。

定義 核・余核

加法圏で f:A→Bf:A\to B の

  • 核 ker⁡f\ker f：f∘k=0f\circ k=0 をみたす射 k:K→Ak:K\to A のうち普遍的なもの（ff との合成が 00 になる 射を一意に因子分解する）。等化子（ff と零射の等化子）＝極限の一種。
  • 余核 cokerf\mathrm{coker}f：c∘f=0c\circ f=0 をみたす c:B→Cc:B\to C のうち普遍的なもの。核の双対＝余極限の一種。

核は「ff が潰す方向」、余核は「ff が届かない残り（商）」を、要素を使わず射の普遍性で捉えます。第5章で 見たとおり、核は極限（等化子）、余核はその双対の余極限。ホモロジー代数の道具立てが、すべて普遍性の言葉に 乗りました。

アーベル圏

核・余核があるだけでは足りません。「像」を核・余核の両方から作れて、それらが一致する——この整合性が アーベル圏の要です。加群でおなじみの準同型定理（A/ker⁡f≅imfA/\ker f\cong\mathrm{im}f）が成り立つ舞台、と言っても 同じです。

定義 アーベル圏

加法圏 A\mathcal A がアーベル圏とは、さらに

  1. すべての射が核と余核をもつ。
  2. すべての単射（モノ射）はある射の核であり、すべての全射（エピ射）はある射の余核である。 （同値に、各 ff の coimf=coker(ker⁡f)→ker⁡(cokerf)=imf\mathrm{coim}f=\mathrm{coker}(\ker f)\to\ker(\mathrm{coker}f)=\mathrm{im}f が同型＝準同型定理が成り立つ。）

条件 2 の「像＝余像」が肝で、これにより f:A→Bf:A\to B を「全射 A↠imfA\twoheadrightarrow\mathrm{im}f と単射 imf↪B\mathrm{im}f\hookrightarrow B の合成」に一意分解できます。加群の第一同型定理が、圏の公理として据えられた わけです。

例 アーベル圏の例

  • Ab\mathbf{Ab}（アーベル群）、ModR\mathbf{Mod}_R（RR 加群）：原型。
  • 層の圏 Sh(X)\mathbf{Sh}(X)：位相空間上のアーベル群の層。表現の圏（群・リー環の表現）。
  • 鎖複体の圏 Ch(A)\mathrm{Ch}(\mathcal A)：アーベル圏の複体もアーベル圏（第12章の導来関手の舞台）。
  • 非例：Grp\mathbf{Grp}（非可換群）はアーベル圏でない（射が足せず、余核が素直でない）。Vect\mathbf{Vect} の 有限次元だけの圏など、核をもたないものも外れる。

注意 なぜ抽象化するのか——フレイド–ミッチェル

「加群でできる議論を抽象圏でやり直す」御利益は絶大。層のコホモロジー、群の表現、代数幾何の連接層——どれも アーベル圏で、同じホモロジー代数（完全系列・導来関手）が一挙に使える。しかもフレイド–ミッチェルの埋め込み 定理が「小さいアーベル圏は、ある環上の加群圏の充満部分圏として埋め込める」と保証する。だから「要素を使う 加群の証明」が、抽象アーベル圏でもそのまま通用する——抽象化しても、加群の直感を捨てなくてよい。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 加法圏は「射が足せる」圏。 Hom がアーベル群で合成が双線形。Grp\mathbf{Grp} は準同型が足せないので加法圏でない。
  • 核・余核は普遍性で定義。 要素 {a:f(a)=0}\{a:f(a)=0\} でなく、ff との合成が 00 になる射の普遍性。等化子（極限）と その双対。
  • アーベル圏の肝は「像＝余像」。 単に核・余核があるだけでは足りない。準同型定理が成り立つ整合性が要る。
  • 要素を使う証明もフレイド–ミッチェルで正当化される。 抽象アーベル圏でも「元を追う」議論（蛇の補題など）が 使える。抽象と具体の橋。

この章のまとめ

  • 加法圏＝Hom がアーベル群で合成が双線形（射が足せる）、零対象と双積（積＝余積）をもつ。ModR\mathbf{Mod}_R の抽象化。
  • 核・余核を普遍性（等化子とその双対）で定義。アーベル圏は、さらに全射・単射が核・余核と整合し、像＝余像（準同型定理）が成り立つ圏。
  • 例は Ab,ModR\mathbf{Ab},\mathbf{Mod}_R・層・表現・鎖複体。フレイド–ミッチェルにより、要素を追う加群の証明が抽象圏でも通用する。
  • 舞台が整った。次章では、この舞台で完全系列と完全関手（左完全・右完全）を定義し、関手が完全性をどう壊すかを見ます。

次章では、完全系列を圏論的に定義し、関手の左完全性・右完全性・半完全性を通じて導来関手（第12章）への動機を作ります。