第9章随伴と極限の保存

随伴がもたらす“保存則”

前章で随伴 $F\dashv G$ を定義しました。この関係から、驚くほど広く効く一つの定理が出ます——右随伴は極限を保存し、左随伴は余極限を保存する（頭文字で「RAPL / LAPC」とも）。この一言が、個別に証明すると面倒な事実を一挙に片づけます。テンソル積が直和を保つこと、忘却関手が積を保つこと、自由関手が余積を保つこと——すべてこの定理の系です。

なぜ随伴が保存を生むのか。直感はこうです。極限は「 $\mathrm{Hom}(X,-)$ で見た普遍性」（第6章）でした。右随伴 $G$ は Hom を通して左随伴に化けるので、 $\mathrm{Hom}(X,G(\lim))$ が $\mathrm{Hom}(F(X),\lim)$ になり、極限と交換する——という仕組みです。

右随伴は極限を保存、左随伴は余極限を保存。Hom の自然同型が極限と交換することの帰結。

保存定理

定理随伴は極限・余極限を保存する

$F\dashv G$ （ $F:\mathcal C\to\mathcal D$ 左随伴、 $G:\mathcal D\to\mathcal C$ 右随伴）とする。

$G$ （右随伴）は $\mathcal D$ に存在する極限を保存する： $G(\lim D)\cong\lim(G\circ D)$ 。
$F$ （左随伴）は $\mathcal C$ に存在する余極限を保存する： $F(\operatorname{colim}D)\cong\operatorname{colim}(F\circ D)$ 。

証明

右随伴 $G$ が極限を保存することを、 $\mathrm{Hom}(X,-)$ が極限を保つ（第6章）ことに帰着させる。任意の $X\in\mathcal C$ で

\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\big(X,\,G(\lim D)\big)\cong\mathrm{Hom}_{\mathcal D}\big(F(X),\,\lim D\big)\cong\lim\mathrm{Hom}_{\mathcal D}\big(F(X),\,D\big)\cong\lim\mathrm{Hom}_{\mathcal C}\big(X,\,G\circ D\big).

一つ目と三つ目は随伴（Hom 同型）、二つ目は「 $\mathrm{Hom}(F(X),-)$ が極限を保つ」。この自然同型が全 $X$ で成り立つので、米田の補題（第7章）より $G(\lim D)\cong\lim(G\circ D)$ 。余極限と左随伴は双対。∎

証明は、随伴（Hom 同型）と「Hom は極限を保つ」と米田を組み合わせるだけ。これまでの道具——第6章の Hom、第7章の米田、第8章の随伴——が一本に編まれて、強力な保存則が出ます。証明の短さと結論の広さの落差こそ、圏論の抽象化の御利益です。

系——バラバラの事実が一挙に説明される

保存定理を各随伴に当てると、分野を横断する事実が芋づる式に出ます。

例保存定理の帰結

忘却関手は極限を保存： $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は右随伴（自由 ⊣ 忘却）なので極限（積・核）を保つ。「群の直積の台集合＝台集合の直積」が、証明抜きで従う。 $\mathbf{Ring},\mathbf{Top}$ でも同様。
自由関手は余極限を保存： $F:\mathbf{Set}\to\mathbf{Grp}$ は左随伴なので余積を保つ。「 $F(S\sqcup T)=F(S)*F(T)$ 」（非交和の自由群＝自由積）。
テンソルは余極限を保存し右完全： $-\otimes M$ は左随伴（テンソル ⊣ Hom）なので余極限＝直和・余核を保つ。これが加群論・ホモロジー代数のテンソルの右完全性（第11章）。
$\mathrm{Hom}(M,-)$ は極限を保存し左完全：右随伴なので積・核を保つ。 $\mathrm{Ext}$ （第12章）が測るのは、この左完全性の“ずれ”。

一つの定理が、群・環・加群・位相のあちこちで「なぜこの構成はあの構成を保つのか」を説明する。個別に証明していた事実が、「左随伴か右随伴か」を確かめるだけで判定できる——これが「同じ形を見抜く」圏論の実利です。

注意随伴が“存在する”ことの意味

逆に「ある関手が余極限を保存しないなら、左随伴をもたない」という否定にも使える。さらに、随伴関手定理（フレイド）は「極限を保存し、ある小ささの条件をみたす関手は右随伴をもつ」と、保存から随伴の存在を導く。「保存」と「随伴の存在」はほぼ表裏——構成の存在問題が、保存という検証しやすい条件に翻訳される。

つまずきポイント

注意よくある誤解

右随伴＝極限、左随伴＝余極限。 取り違えやすい。「右（right）は極限（limit）、左（left）は余極限（colimit）」。 Hom の中で右引数に立つ $G$ が右随伴で極限を保つ、と結びつける。
左随伴は極限を保つとは限らない。 テンソルは核（極限）を保たない＝左完全でない（第11章）。だから $\mathrm{Tor}$ が要る。保存するのは自分の側（左なら余極限）だけ。
保存は「存在すれば同型」。 極限が存在しない圏では主張は空。存在を仮定した上での保存。
証明は米田に依存。 「全 $X$ で Hom が同型 ⇒ 対象が同型」は米田埋め込みの忠実充満性（第7章）。圏論の道具が連結して効く。

この章のまとめ

右随伴は極限を、左随伴は余極限を保存する。証明は随伴（Hom 同型）＋「Hom は極限を保つ」＋米田の三点を編むだけ。
系として、忘却関手は積・核を保ち、自由関手・テンソルは余積・直和を保つ（テンソルの右完全性、 $\mathrm{Hom}$ の左完全性）——分野横断の事実が一挙に説明される。
「保存するか」を「左随伴か右随伴か」で判定でき、随伴の存在（フレイドの随伴関手定理）とも表裏。
随伴（Part III）はここまで。次章からアーベル圏——核・余核・完全系列をもつ「ホモロジー代数の舞台」を圏論的に整備し、導来関手（Ext・Tor）へ向かいます。

次章では、加法圏・アーベル圏を定義し、核・余核・完全系列を圏論の言葉で整備します。

第9章 随伴と極限の保存