第3章円周の基本群と応用

円周のループは、巻き数で数えられる

前章で基本群という機械を作りました。いよいよ最初の非自明な計算です——円周 $S^1$ の基本群は、整数の加法群 $\mathbb Z$ に同型。 $\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ 。

直感的には明らかです。円周のループは「何周するか」で本質的に決まる。時計回りに $1$ 周、反時計回りに $2$ 周、一周もしない（縮む）…。この巻き数（何周したか）が整数で、ループをつなぐ（積）と巻き数が足される——だから群 $\mathbb Z$ 。これを厳密にするのが普遍被覆への持ち上げ：円周の上に無限に伸びる螺旋（実直線 $\mathbb R$ ）を用意し、ループをその螺旋上の道に持ち上げると、終点の高さがちょうど巻き数になる。

この一つの計算 $\pi_1(S^1)=\mathbb Z$ から、驚くほど深い結果が流れ出します——ブラウワーの不動点定理、そして代数学の基本定理の位相的な証明。「円周のループは整数で数えられる」という素朴な事実が、数学の大定理を生むのです。

$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ （巻き数）。証明は普遍被覆 $\mathbb R\to S^1$ への持ち上げ。ここから不動点定理・代数学の基本定理が出る。

巻き数を体感する

下で、原点（穴）のまわりのループを選び、スライダーで点を動かしてください。右のバーが持ち上げ $\theta(t)/2\pi$ —— ループを実直線 $\mathbb R$ （普遍被覆）へ持ち上げた高さ——を示します。一周し終えたときの高さが巻き数（整数）で、これがループのホモトピー類＝ $\pi_1(S^1)$ の元です。「巻いて戻る」ループは巻き数 $0$ （縮められる＝可縮）になる一方、「 $2$ 周」は持ち上げが $2$ 段上がる。穴の外へどう変形しても整数の巻き数は変わらない——これが $\mathbb Z$ です。

ループ t = 0.00

持ち上げ θ(t)/2π

π₁(S¹) ≅ ℤ の証明

証明の道具は被覆写像（第5章で一般論）です。円周を無限に巻きつく螺旋の“影”とみなします。

定義円周の普遍被覆

写像 $p:\mathbb R\to S^1,\ p(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ を考える（実直線を円周に無限回巻きつける）。 $p$ は被覆写像：各点の近傍の逆像が、 $\mathbb R$ 上の“ばらばらの区間の列”になる。 $\mathbb R$ は可縮（単連結）ゆえ普遍被覆という。

証明の心臓は、円周上の道を螺旋 $\mathbb R$ 上の道へ一意に持ち上げることです。

補題道の持ち上げ

$S^1$ の道 $\gamma:[0,1]\to S^1$ と、 $\gamma(0)$ の逆像の一点 $\tilde x_0\in\mathbb R$ に対し、 $\tilde\gamma(0)=\tilde x_0$ かつ $p\circ\tilde\gamma=\gamma$ となる道 $\tilde\gamma:[0,1]\to\mathbb R$ が一意に存在する（持ち上げ）。ホモトピーも同様に一意に持ち上がる。

定理円周の基本群

$\pi_1(S^1,1)\cong\mathbb Z,\qquad [\gamma]\longmapsto \tilde\gamma(1)-\tilde\gamma(0)\ (\text{巻き数}).$

証明

基点 $1=(1,0)$ 、 $\tilde x_0=0$ とする。ループ $\gamma$ を持ち上げた $\tilde\gamma$ は、 $p(\tilde\gamma(1))=\gamma(1)=1$ ゆえ $\tilde\gamma(1)\in\mathbb Z$ （ $p^{-1}(1)=\mathbb Z$ ）。この整数 $\deg\gamma=\tilde\gamma(1)$ が巻き数。

well-defined：ホモトピックなループは、ホモトピーを持ち上げると同じ終点（ $\mathbb Z$ は離散なので終点は動けない）。
準同型： $\gamma\cdot\delta$ の持ち上げは、 $\tilde\gamma$ の後に $\delta$ の持ち上げを $\tilde\gamma(1)$ ずらして繋いだもの。終点は $\deg\gamma+\deg\delta$ 。
全射： $\gamma_n(s)=(\cos2\pi ns,\sin2\pi ns)$ は巻き数 $n$ 。
単射： $\deg\gamma=0$ なら $\tilde\gamma$ は $\mathbb R$ 内の $0$ から $0$ へのループ。 $\mathbb R$ は可縮ゆえ $\tilde\gamma\simeq$ 定値、 $p$ で降ろすと $\gamma\simeq$ 定値。ゆえ同型。∎

証明の要は「 $\mathbb R$ （可縮）に持ち上げると、巻き数 $0$ のループが縮む」こと。穴のある $S^1$ の複雑さを、穴のない $\mathbb R$ の単純さに持ち上げて解く——被覆空間の威力です。この $\pi_1(S^1)=\mathbb Z$ が、以下の応用を生みます。

応用1：レトラクトの不在とブラウワーの不動点定理

定理レトラクトの不在

円板 $D^2$ を境界円周 $S^1$ へ押し込むレトラクション（ $r:D^2\to S^1$ で $r|_{S^1}=\mathrm{id}$ ）は存在しない。

証明

あると仮定する。包含 $i:S^1\hookrightarrow D^2$ と $r$ の合成 $r\circ i=\mathrm{id}_{S^1}$ 。 $\pi_1$ を施すと（関手性、第2章） $r_*\circ i_*=\mathrm{id}:\pi_1(S^1)\to\pi_1(S^1)$ 、すなわち $\mathbb Z\xrightarrow{i_*}\pi_1(D^2)\xrightarrow{r_*}\mathbb Z$ が恒等写像。だが $D^2$ は可縮ゆえ $\pi_1(D^2)=\{e\}$ （第2章）。 $\mathbb Z\to\{e\}\to\mathbb Z$ が恒等になるのは不可能（ $\mathbb Z\ne\{e\}$ ）。矛盾。∎

「境界を縮めて内部だけにできない」——穴のない円板から、穴（ $\mathbb Z$ ）のある円周へは、恒等を保って写せない。 $\pi_1$ の $\mathbb Z$ と $\{e\}$ の違いが、これを証明します。そしてこのレトラクト不在から、有名な不動点定理が出ます。

定理ブラウワーの不動点定理（2 次元）

連続写像 $f:D^2\to D^2$ は必ず不動点をもつ（ $f(x)=x$ となる $x$ がある）。

証明

不動点が無いと仮定する。各 $x$ で $f(x)\ne x$ なので、 $f(x)$ から $x$ へ向かう半直線が境界 $S^1$ と交わる点を $r(x)$ とすると、 $r:D^2\to S^1$ は連続で $r|_{S^1}=\mathrm{id}$ （境界点はそのまま）——レトラクション。これは上の定理に反する。ゆえ不動点をもつ。∎

「コーヒーをかき混ぜても、どこか一点は元の位置に戻る」という不動点定理が、 $\pi_1(S^1)=\mathbb Z$ から出る。微分方程式のピカールがバナッハの不動点だったのに対し、これは位相的な不動点定理です。

応用2：代数学の基本定理

定理代数学の基本定理（位相的証明）

次数 $n\ge1$ の複素係数多項式 $p(z)$ は $\mathbb C$ に根をもつ。

証明

$p(z)=z^n+\cdots$ が根をもたないと仮定する。半径 $R$ の円 $|z|=R$ 上のループ $z=Re^{2\pi is}$ を $p$ で写した $s\mapsto p(Re^{2\pi is})/|p(Re^{2\pi is})|$ （ $S^1$ 値、根が無いので定義できる）を考える。 $R$ 大では $p\approx z^n$ ゆえ巻き数 $n$ 、 $R=0$ では定値（巻き数 $0$ ）。 $R$ を $0$ から大へ連続に動かすと、このループは連続変形されるので巻き数は不変——だが $n\ne0$ と $0$ が両立せず矛盾。ゆえ根をもつ。∎

複素解析ではリウヴィルの定理から証明した代数学の基本定理が、ここでは巻き数から出ます。「大円では $z^n$ が原点を $n$ 周、小円では $0$ 周、連続変形で巻き数は変わらないから矛盾」——複素解析の偏角の原理と同じ回転数の議論の、位相的な姿です。一つの定理が、解析・代数・位相の3つの視点で証明される好例です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

$\pi_1(S^1)=\mathbb Z$ は巻き数。 ループの積で巻き数が足される＝加法群 $\mathbb Z$ 。可縮な $\mathbb R$ への持ち上げが証明の鍵。
持ち上げは一意。 始点を決めれば、道もホモトピーも普遍被覆へ一意に持ち上がる。 $\mathbb Z$ が離散だから終点が動けない。
ブラウワーは連続写像の不動点。 縮小写像を要するバナッハと違い、連続だけでよい（位相的）。証明はレトラクト不在＝ $\pi_1$ の違い。
$S^n$ （ $n\ge2$ ）は単連結。 $\pi_1(S^n)=\{e\}$ 。 $S^1$ だけが $\mathbb Z$ 。高次元球面のループは縮む（次章）。

この章のまとめ

$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ （巻き数）。証明は普遍被覆 $p:\mathbb R\to S^1$ への道の持ち上げ——穴のある $S^1$ を穴のない $\mathbb R$ に持ち上げ、巻き数 $0$ が縮むことを使う。
応用1：レトラクト $D^2\to S^1$ の不在（ $\pi_1$ が $\mathbb Z$ と $\{e\}$ ）→ ブラウワーの不動点定理（連続写像 $D^2\to D^2$ は不動点をもつ）。
応用2：代数学の基本定理の位相的証明（大円で巻き数 $n$ 、連続変形で不変）。複素解析・偏角の原理と同根。

次章は、複雑な空間の基本群を計算する道具——ファン・カンペンの定理を扱います。

第3章 円周の基本群と応用