第5章積・余積・極限

直積を「射だけ」で定義する

二つの集合の直積 $A\times B$ は、要素の対 $(a,b)$ の全体——中身で定義されています。でも圏論は中身を見ない。では直積を、要素を使わずに射だけで特徴づけられるか。できます。鍵は「 $A\times B$ への射は、 $A$ への射と $B$ への射の対と同じ」という観察です。

$A\times B$ には射影 $\pi_1:A\times B\to A$ 、 $\pi_2:A\times B\to B$ があります。そして、 $A,B$ の両方へ射をもつどんな対象 $X$ （ $f:X\to A,\ g:X\to B$ ）も、その二本の射を「束ねた」唯一の射 $X\to A\times B$ を通して現れる。これが積の普遍性です。まず体感しましょう。

「積 A×B」では、射影 $\pi_1,\pi_2$ をもつ $A\times B$ に対し、テスト対象 $X$ から一意な媒介射 $u$ が伸びます（ $\pi_1\circ u=f,\ \pi_2\circ u=g$ ）。トグルで「余積」に切り替えると、すべての矢印の向きが反転する—— これが双対性です。まず積を定義します。

定義積

対象 $A,B$ の積とは、対象 $A\times B$ と射影 $\pi_1:A\times B\to A,\ \pi_2:A\times B\to B$ の組で、次の普遍性をみたすもの：任意の対象 $X$ と射 $f:X\to A,\ g:X\to B$ に対し、

\pi_1\circ u=f,\qquad \pi_2\circ u=g

をみたす射 $u:X\to A\times B$ がただ一つ存在する。この $u$ を $\langle f,g\rangle$ と書く。

前章の型どおり、積は「 $A,B$ への射の対をもつ対象たち」の圏の終対象です。だから同型を除いて一意（前章の雛形で証明できる）。中身（対の集合）を一切使わず、射の一意性だけで直積が定義できました。

例積の実例

$\mathbf{Set}$ ：デカルト積 $A\times B$ 、 $\pi_i$ は成分の取り出し。
$\mathbf{Grp},\mathbf{Vect}$ ：直積群・直和空間（有限個なら直積＝直和）。
順序集合： $a,b$ の積＝下限 $a\wedge b$ （両方以下の最大元）。「積」が最大公約数的なものになる。
$\mathbf{Top}$ ：積位相を入れた直積空間。

余積——積の双対

積の定義ですべての矢印を逆向きにすると、余積が得られます。射影が入射になり、媒介射の向きが逆になる。デモのトグルが示していたのはこれです。

定義余積

$A,B$ の余積とは、対象 $A\sqcup B$ と入射 $i_1:A\to A\sqcup B,\ i_2:B\to A\sqcup B$ の組で、任意の $X$ と射 $f:A\to X,\ g:B\to X$ に対し、 $u\circ i_1=f,\ u\circ i_2=g$ をみたす射 $u:A\sqcup B\to X$ が ただ一つ存在するもの。

例余積の実例

$\mathbf{Set}$ ：非交和 $A\sqcup B$ 。
$\mathbf{Grp}$ ：自由積 $A*B$ （ファン・カンペンで登場）。
$\mathbf{Vect}$ ：直和（有限個なら積と一致）。
順序集合： $a,b$ の余積＝上限 $a\vee b$ 。可換環の余積はテンソル積 $A\otimes B$ 。

同じ「積」でも、 $\mathbf{Set}$ ではデカルト積、順序集合では下限、余積は非交和・自由積・上限・テンソル積……と分野ごとに姿を変えます。しかし普遍性という設計図は一つ。バラバラに見えた構成が、「積（終対象型）」と「余積（始対象型）」という双子のパターンに整理される——これが圏論の眺めの良さです。

極限と余極限——普遍性の一般形

積・余積は「二つの対象」を束ねました。これを任意の図式へ一般化したのが極限・余極限です。引き戻し・押し出し・逆極限など、多くの構成がこの一語に収まります。

定義極限・余極限（概要）

図式 $D$ （小さい圏 $\mathcal J$ から $\mathcal C$ への関手）に対し、

極限 $\lim D$ ： $D$ の全対象へ整合的に射を出す対象（錐）のうち普遍的なもの（終的な錐）。
余極限 $\operatorname{colim}D$ ： $D$ の全対象から整合的に射を受ける対象（余錐）のうち普遍的なもの（始的な余錐）。

例極限・余極限として現れる構成

積＝離散図式（射のない二点）の極限、余積＝その余極限。
引き戻し（プルバック） $A\times_C B$ ： $A\to C\leftarrow B$ の極限。 $\mathbf{Set}$ では $\{(a,b):f(a)=g(b)\}$ 。
押し出し（プッシュアウト）： $A\leftarrow C\to B$ の余極限。位相での貼り合わせ（ファン・カンペン）。
等化子（差の核）・逆極限（ $p$ 進整数 $\mathbb Z_p$ ）・核（アーベル圏）なども極限。

注意双対性という“無料の定理”

極限と余極限は、矢印を全部逆にした双対。だから「極限について成り立つ定理」は、そのまま「余極限についての定理」になる（証明し直す必要なし）。第1章で予告した双対性が、ここで実を結ぶ。積↔余積、引き戻し↔押し出し、核↔余核——すべて対で現れる。デモのトグル一つで両方を見たのは、この深い対称性の現れ。一つ証明すれば二つ手に入るのが圏論の経済性。

つまずきポイント

注意よくある誤解

積は「対の集合」でなく普遍性で定義。 $\mathbf{Set}$ ではたまたまデカルト積だが、定義は射の一意性。順序集合では下限になる。中身に引きずられない。
積と余積は双対（矢印が逆）。 名前が似て非なるもの。 $\mathbf{Vect}$ では有限個で一致するが、一般には別物（ $\mathbf{Set}$ の直積と非交和）。
極限は「小さくする」とは限らない。 積は成分より大きい。「極限」は解析の極限とは別概念——普遍的な錐のこと。
すべての圏に積や極限があるとは限らない。 存在すれば一意、というだけ。「完備圏」はすべての小さい極限をもつ圏。

この章のまとめ

積 $A\times B$ ：射影をもち、任意の $X$ から一意な媒介射 $\langle f,g\rangle$ を受ける（普遍性＝終対象型）。中身でなく射で定義。 $\mathbf{Set}$ で直積、順序集合で下限。
余積 $A\sqcup B$ ＝積の双対（矢印を全反転）。非交和・自由積・上限・テンソル積。
極限・余極限は普遍性の一般形。積・引き戻し・等化子・逆極限（極限）、余積・押し出し・核の双対（余極限）を統一。
双対性により一つの定理が対で手に入る（積↔余積、引き戻し↔押し出し）。
次章では、対象を「他との射の全体」で見る Hom 関手を導入し、表現可能関手を通して米田の補題（第7章）へ橋を架けます。

次章では、Hom 関手と表現可能関手を導入し、「対象を、それが他と結ぶ射の全体で見る」視点を用意します。

第5章 積・余積・極限