第6章 Hom関手と表現可能関手

対象を「関係の束」として見る

第1章で「対象は中身でなく関係で語る」と述べました。この精神を極限まで推し進めます——対象 $A$ を、 $A$ が他のすべての対象と結ぶ射の全体で捉える。$A$ から見える世界、あるいは $A$ へ向かう射の全体。 それが Hom 関手です。この視点が、次章の米田の補題——圏論の心臓——への直接の入り口になります。

固定した対象 $A$ に対し、各対象 $X$ に「$A$ から $X$ への射の集合」$\mathrm{Hom}(A,X)$ を対応させる。$X$ を 動かすと、これは $\mathcal C$ から $\mathbf{Set}$ への関手になります。

Hom関手＝固定対象 $A$ から見た「他対象への射の集合」を、$X$ ごとに集めた関手。対象を関係の束として見る。

共変 Hom 関手と反変 Hom 関手

Hom は二つの引数をもち、一方を固定すると関手になります。前引数を固定すると共変、後引数を固定すると反変です。

後合成（$f_*$）は向きを保ち共変、前合成（$f^*$）は向きを逆にし反変——第2章の押し出し/引き戻しの区別が そのまま効きます。$\mathrm{Hom}(A,-)$ は「$A$ から出る射の世界」、$\mathrm{Hom}(-,A)$ は「$A$ へ入る射の世界」。 対象 $A$ を、出ていく矢印・入ってくる矢印の全体として描像するのです。

表現可能関手

さて、$\mathcal C$ から $\mathbf{Set}$ への関手はいろいろあります。そのうち、ある対象の Hom 関手と（自然）同型に なるものは特別です。「集合値の関手が、実は一つの対象で“代表”されている」——これを表現可能といいます。

表現可能性は「一見複雑な関手の背後に、それを支配する一つの対象がいる」という発見です。そして——多くの 普遍性は、ある関手の表現可能性として言い換えられる。表現対象こそが普遍対象なのです。

「べき集合は $\{0,1\}$ で代表される」「積の存在は表現可能性」——バラバラの構成が、$\mathrm{Hom}$ を通して 「一つの対象による代表」という一枚の絵に収束していきます。この“代表”の考え方を極限まで突き詰めると、 次章の米田の補題になります。

つまずきポイント

この章のまとめ

• Hom 関手：固定対象 $A$ に対し、共変 $\mathrm{Hom}(A,-)$（後合成・$A$ から出る射の世界）と反変 $\mathrm{Hom}(-,A)$（前合成・$A$ へ入る射の世界）。対象を「関係の束」として見る。
• 普遍性は Hom 集合の自然同型として翻訳できる（積の普遍性＝$\mathrm{Hom}(X,A\times B)\cong\mathrm{Hom}(X,A)\times\mathrm{Hom}(X,B)$）。
• 表現可能関手 $F\cong\mathrm{Hom}(A,-)$：集合値関手が一つの対象 $A$ で代表される。表現対象＝普遍対象（べき集合は $\{0,1\}$、積は $A\times B$）。
• 「対象を Hom で捉える」「関手を対象で代表する」——この二つを極限まで突き詰めると米田の補題。次章でその心臓に触れます。

次章では、圏論の心臓——米田の補題を述べ、「対象はそれが他と結ぶ関係の全体で完全に決まる」ことの意味を掘り下げます。