第6章 Hom関手と表現可能関手

対象を「関係の束」として見る

第1章で「対象は中身でなく関係で語る」と述べました。この精神を極限まで推し進めます——対象 $A$ を、 $A$ が他のすべての対象と結ぶ射の全体で捉える。 $A$ から見える世界、あるいは $A$ へ向かう射の全体。それが Hom 関手です。この視点が、次章の米田の補題——圏論の心臓——への直接の入り口になります。

固定した対象 $A$ に対し、各対象 $X$ に「 $A$ から $X$ への射の集合」 $\mathrm{Hom}(A,X)$ を対応させる。 $X$ を動かすと、これは $\mathcal C$ から $\mathbf{Set}$ への関手になります。

Hom関手＝固定対象 $A$ から見た「他対象への射の集合」を、 $X$ ごとに集めた関手。対象を関係の束として見る。

共変 Hom 関手と反変 Hom 関手

Hom は二つの引数をもち、一方を固定すると関手になります。前引数を固定すると共変、後引数を固定すると反変です。

定義 Hom関手

圏 $\mathcal C$ の対象 $A$ を固定する。

共変 Hom 関手 $h^A=\mathrm{Hom}(A,-):\mathcal C\to\mathbf{Set}$ 。対象 $X\mapsto\mathrm{Hom}(A,X)$ 、射 $f:X\to Y$ には後合成 $f_*:\mathrm{Hom}(A,X)\to\mathrm{Hom}(A,Y)$ 、 $\ \varphi\mapsto f\circ\varphi$ 。
反変 Hom 関手 $h_A=\mathrm{Hom}(-,A):\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 。対象 $X\mapsto\mathrm{Hom}(X,A)$ 、射 $f:X\to Y$ には前合成 $f^*:\mathrm{Hom}(Y,A)\to\mathrm{Hom}(X,A)$ 、 $\ \varphi\mapsto\varphi\circ f$ 。

後合成（ $f_*$ ）は向きを保ち共変、前合成（ $f^*$ ）は向きを逆にし反変——第2章の押し出し/引き戻しの区別がそのまま効きます。 $\mathrm{Hom}(A,-)$ は「 $A$ から出る射の世界」、 $\mathrm{Hom}(-,A)$ は「 $A$ へ入る射の世界」。対象 $A$ を、出ていく矢印・入ってくる矢印の全体として描像するのです。

注意 Hom関手は普遍性を翻訳する

第5章の積の普遍性「 $\mathrm{Hom}(X,A\times B)\cong\mathrm{Hom}(X,A)\times\mathrm{Hom}(X,B)$ 」は、まさに Hom 関手の言葉。普遍性とは「Hom 集合の間の自然な全単射」だった。実際、あらゆる極限は $\mathrm{Hom}(X,-)$ が保つ（ $\mathrm{Hom}(X,\lim D)\cong\lim\mathrm{Hom}(X,D)$ ）。Hom 関手を通すと、普遍性が集合の同型として見える—— この観点が次章と第9章で本質的になる。

表現可能関手

さて、 $\mathcal C$ から $\mathbf{Set}$ への関手はいろいろあります。そのうち、ある対象の Hom 関手と（自然）同型になるものは特別です。「集合値の関手が、実は一つの対象で“代表”されている」——これを表現可能といいます。

定義表現可能関手

関手 $F:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ が表現可能とは、ある対象 $A$ が存在して自然同型

F\cong\mathrm{Hom}(A,-)

が成り立つこと。 $A$ を $F$ の表現対象という。（反変なら $F\cong\mathrm{Hom}(-,A)$ 。）

表現可能性は「一見複雑な関手の背後に、それを支配する一つの対象がいる」という発見です。そして——多くの普遍性は、ある関手の表現可能性として言い換えられる。表現対象こそが普遍対象なのです。

例表現可能関手と普遍対象

恒等関手的な例： $\mathrm{Hom}(A,-)$ 自身は $A$ で表現される。
べき集合（反変） $\mathcal P:\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 、 $X\mapsto\mathcal P(X)$ は $\mathrm{Hom}(-,\{0,1\})$ と自然同型（部分集合 ↔ 特性関数）。表現対象は二元集合 $\{0,1\}$ 。
積を作る関手 $X\mapsto\mathrm{Hom}(X,A)\times\mathrm{Hom}(X,B)$ は $\mathrm{Hom}(-,A\times B)$ で表現される。表現対象＝積 $A\times B$ 。「積の存在」＝「この関手が表現可能」。
忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は $\mathrm{Hom}(\mathbb Z,-)$ で表現される（群の元 ↔ $\mathbb Z$ からの準同型）。

「べき集合は $\{0,1\}$ で代表される」「積の存在は表現可能性」——バラバラの構成が、 $\mathrm{Hom}$ を通して「一つの対象による代表」という一枚の絵に収束していきます。この“代表”の考え方を極限まで突き詰めると、次章の米田の補題になります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

共変 $\mathrm{Hom}(A,-)$ と反変 $\mathrm{Hom}(-,A)$ を区別。 前者は後合成で共変、後者は前合成で反変。どちらの引数を固定したかで向きが決まる。
表現可能＝「一つの対象で代表される」。 集合値関手が $\mathrm{Hom}(A,-)$ の形。表現対象 $A$ が普遍対象。関手が表現可能かどうかは自明でない。
普遍性は Hom 集合の自然同型。 「一意な媒介射」は「Hom 集合の全単射」の言い換え。普遍性を集合の同型として見る癖をつける。
表現対象は同型を除いて一意。 次章の米田の補題の帰結。二つの表現対象は自然同型から同型になる。

この章のまとめ

Hom 関手：固定対象 $A$ に対し、共変 $\mathrm{Hom}(A,-)$ （後合成・ $A$ から出る射の世界）と反変 $\mathrm{Hom}(-,A)$ （前合成・ $A$ へ入る射の世界）。対象を「関係の束」として見る。
普遍性は Hom 集合の自然同型として翻訳できる（積の普遍性＝ $\mathrm{Hom}(X,A\times B)\cong\mathrm{Hom}(X,A)\times\mathrm{Hom}(X,B)$ ）。
表現可能関手 $F\cong\mathrm{Hom}(A,-)$ ：集合値関手が一つの対象 $A$ で代表される。表現対象＝普遍対象（べき集合は $\{0,1\}$ 、積は $A\times B$ ）。
「対象を Hom で捉える」「関手を対象で代表する」——この二つを極限まで突き詰めると米田の補題。次章でその心臓に触れます。

次章では、圏論の心臓——米田の補題を述べ、「対象はそれが他と結ぶ関係の全体で完全に決まる」ことの意味を掘り下げます。