第7章米田の補題

あなたが何者かは、世界との関わり方が決める

圏論でもっとも有名で、もっとも深いと言われるのが米田の補題です。一言でいえば——対象は、それが他のあらゆる対象と結ぶ射の全体（ $\mathrm{Hom}(A,-)$ ）によって、完全に決まってしまう。中身を一切見なくても、「他とどう関わるか」さえ分かれば対象は同定できる。「あなたが何者かは、あなたと世界との関わり方が決める」 ——第1章から掲げてきた「関係で語る」哲学の、究極の到達点です。

抽象的なので、まず主張の形を掴みます。関手 $F:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ と対象 $A$ について、「 $A$ の Hom 関手 $\mathrm{Hom}(A,-)$ から $F$ への自然変換」が、驚くほど単純なもの—— $F(A)$ の要素そのもの——と一対一に対応する、というのが補題の中身です。

米田の補題： $\mathrm{Hom}(A,-)$ から $F$ への自然変換は、 $F(A)$ の要素と一対一。対象は Hom 関手で完全に決まる。

米田の補題

定理米田の補題

局所小圏 $\mathcal C$ 、関手 $F:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ 、対象 $A\in\mathcal C$ に対し、自然変換の集合と $F(A)$ の間に自然な全単射

\mathrm{Nat}\big(\mathrm{Hom}(A,-),\,F\big)\ \cong\ F(A)

がある。対応は、自然変換 $\eta$ に $\eta_A(\mathrm{id}_A)\in F(A)$ を与えることで実現される。

証明

写像 $\Phi:\eta\mapsto\eta_A(\mathrm{id}_A)$ が全単射を示す。逆を作る。 $x\in F(A)$ に対し、自然変換 $\eta^x$ を

\eta^x_X:\mathrm{Hom}(A,X)\to F(X),\qquad \eta^x_X(f)=F(f)(x)

で定める（ $f:A\to X$ に、 $F(f)$ で $x$ を送る）。これが自然変換であることは $F$ の関手性から従う。 $\Phi(\eta^x)=\eta^x_A(\mathrm{id}_A)=F(\mathrm{id}_A)(x)=\mathrm{id}_{F(A)}(x)=x$ なので $\Phi\circ(x\mapsto\eta^x)=\mathrm{id}$ 。逆に、任意の自然変換 $\eta$ と $f:A\to X$ に対し、自然性の四角形（ $f_*$ と $F(f)$ の可換性）から $\eta_X(f)=\eta_X(f\circ\mathrm{id}_A)=F(f)(\eta_A(\mathrm{id}_A))$ 。つまり $\eta$ は $\eta_A(\mathrm{id}_A)$ だけで復元される＝ $\eta=\eta^{\eta_A(\mathrm{id}_A)}$ 。ゆえに $\Phi$ は全単射。∎

証明の心臓は一行——「 $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(\mathrm{id}_A))$ 」。自然性の四角形が、自然変換全体を、たった一つの値 $\eta_A(\mathrm{id}_A)$ に凝縮する。恒等射 $\mathrm{id}_A$ という「 $A$ 自身を指す射」に $\eta$ がどう作用するかで、すべてが決まってしまうのです。無限にありそうな自然変換が、 $F(A)$ の一点に対応する——この圧縮こそ米田の驚きです。

米田埋め込み——対象を Hom 関手と同一視する

補題の最重要の系。 $F$ として別の対象の Hom 関手 $\mathrm{Hom}(B,-)$ をとると、「対象 $A,B$ の間の射」と「Hom 関手の間の自然変換」が一対一に対応します。つまり対象を Hom 関手へ写す対応が、射をも忠実に写す。

定理米田埋め込み

対応 $A\mapsto\mathrm{Hom}(A,-)$ は、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ から関手圏 $[\mathcal C,\mathbf{Set}]$ への 忠実充満関手（米田埋め込み）を与える。すなわち

\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(B,A)\ \cong\ \mathrm{Nat}\big(\mathrm{Hom}(A,-),\,\mathrm{Hom}(B,-)\big).

とくに $\mathrm{Hom}(A,-)\cong\mathrm{Hom}(B,-)$ （自然同型） $\Rightarrow A\cong B$ 。

証明

米田の補題で $F=\mathrm{Hom}(B,-)$ とすれば $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(A,-),\mathrm{Hom}(B,-))\cong\mathrm{Hom}(B,A)$ 。この対応が合成と整合し、忠実充満になる。自然同型なら第3章の圏同値の判定により対象の同型 $A\cong B$ を得る。∎

「 $\mathrm{Hom}(A,-)$ が分かれば $A$ が同型を除いて分かる」——これが米田埋め込みの帰結です。だから第6章の 表現対象は同型を除いて一意（積・べき集合の表現対象の一意性）。対象そのものを扱う代わりに、その Hom 関手（＝他対象との射の全体）を扱ってよい。対象を“関係のパターン”へ翻訳しても、情報は一切失われないのです。

注意米田の哲学と応用

米田の補題は、深い哲学的含意をもつ——「対象の本質は、その内部構造でなく、他との関係の総体にある」。この視点は数学を超えて広がる。代数幾何では、スキームを「その上の点（他対象からの射）の関手」で捉える（関手的視点、グロタンディーク）。プログラミング（型理論）では、型を「それを使う文脈の全体」で理解する（継続・ CPS 変換が米田の一種）。抽象的な補題が、これほど広い射程をもつ——圏論が「数学の言語」と呼ばれる理由の中心に、米田の補題がある。

つまずきポイント

注意よくある誤解

米田は「自然変換＝ $F(A)$ の一点」。 無数にありそうな自然変換が、恒等射の行き先 $\eta_A(\mathrm{id}_A)$ だけで決まる。この圧縮が核心。
証明の鍵は $\mathrm{id}_A$ 。 自然性を $f=f\circ\mathrm{id}_A$ に当てるだけ。「恒等射に何が起きるか」が全情報を運ぶ。
米田埋め込みは反変（ $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ ）。 $\mathrm{Hom}(A,-)$ は $A$ について反変。向きに注意。
「対象＝Hom 関手」は同型を除いて。 完全に等しいのでなく、Hom 関手が対象を同型を除いて決める。表現対象の一意性の根拠。

この章のまとめ

米田の補題 $\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(A,-),F)\cong F(A)$ ： $\mathrm{Hom}(A,-)$ から $F$ への自然変換は $F(A)$ の一点で決まる。証明の心臓は「自然性を $\mathrm{id}_A$ に当てる」。
米田埋め込み $A\mapsto\mathrm{Hom}(A,-)$ は忠実充満。対象は Hom 関手（他との射の全体）で同型を除いて完全に決まる。表現対象の一意性の根拠。
哲学的含意「本質は関係の総体」は代数幾何（関手的点）・プログラミング（継続）まで貫く、圏論の心臓。
基本概念・普遍性・米田が揃った。次章から随伴——「自由と忘却」のような対になった関手の、最も豊かな関係へ進みます。

次章では、随伴関手を Hom 集合の自然同型として定義し、単位・余単位、自由–忘却随伴を見ます。

第7章 米田の補題