第12章 大域次元と正則性

第6章で正則局所環を「接空間が太らない滑らかな点」と定義しましたが、その真の正体は宙吊りのままでした。 なぜ正則局所環は UFD なのか、なぜ特別なのか——$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を眺めるだけでは掴めない。この最終章で、 まったく別の道具ホモロジーが答えを出します。「加群を分解するのに何段必要か」という純ホモロジー的な量 大域次元が、正則性とぴったり一致する——セールの定理。可換環論とホモロジー代数が、一つの定理で溶け合います。

射影次元：分解の長さ

第8章で、加群 $M$ は射影分解 $\cdots\to P_1\to P_0\to M\to0$ を持ちました。この分解がどこかで止まる（有限の 長さで終わる）とき、その最短の長さを射影次元と呼びます。

射影次元は Ext で読めます：$\operatorname{pd}M\le n\iff\operatorname{Ext}^{n+1}(M,-)=0$。だから 「$\operatorname{Ext}$ がどこで消え止むか」が分解の長さ。$\operatorname{pd}M=0$ は $M$ 自身が射影加群 （分解が $0\to P_0\to M\to0$ で済む）ということです。

具体例で感触を。$R=\mathbb{Z}$ 上、$\mathbb{Z}/m$ の分解は $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times m}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\to0$ （第8章）——長さ $1$ で止まる。射影加群でない（$\mathbb{Z}/m$ は自由の直和因子でない）ので $\operatorname{pd}=1$。 $\mathbb{Z}$ 上のすべての加群がこう（PID 上は部分加群が自由なので分解は長さ $\le1$）だから、 $\operatorname{gl.dim}\mathbb{Z}=1$。$\dim\mathbb{Z}=1$ と一致——偶然でしょうか。体なら全加群が自由で $\operatorname{gl.dim}=0=\dim$。この一致が、次のヒルベルトの古典定理で一般化されます。

ヒルベルトのシジジー定理

分解を続けると現れる核（関係の関係）をシジジーと呼びました（第8章）。多項式環では、シジジーが 有限段で自由になって止まる——これがホモロジー代数の出発点となった、ヒルベルトの $1890$ 年の定理です。

$n$ 変数なら、どんな加群も高々 $n$ 段で自由分解が終わる。変数の本数＝次元＝大域次元が三つ揃って一致する。 この「分解が有限で止まる」という現象は、無限に続きうる一般の環では起こりません。多項式環の際立った良さです。 コズュル複体（第10章）が $x_1,\dots,x_n$ に対する $k$ の長さ $n$ の自由分解を与えるのが、その最短の実例です。

アウスランダー–ブックスバウムの公式

大域次元と、第10・11章の深さを結ぶ、美しい保存則があります。

「射影次元（ホモロジー的な複雑さ）と、深さ（代数的な太さ）を足すと、環の深さという定数になる」。 $M$ が複雑（$\operatorname{pd}$ 大）なほど、その深さは削られる——複雑さと太さの間のトレードオフが、 足すと保存される。この公式は、片方を計算すればもう片方が出るという実用面でも、正則性の証明の要としても 決定的です。証明は $M$ の分解の一段目の核（シジジー）を取って帰納する、ホモロジー代数の典型的な議論です。

セールの定理：正則 ⟺ 有限大域次元

いよいよ分野全体の統合点。第6章で幾何的に（接空間で）定義した正則局所環が、ホモロジー的に （大域次元で）完全に特徴づけられます。

接空間の話（第6章）と、分解の長さの話（本章）が、同じ環を指していた。 幾何の「滑らかさ」＝ 「$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ が太らない」が、ホモロジーの「すべての加群が有限段で分解できる」とぴったり一致する。 これは驚くべきことです——見た目まったく無縁な二つの量が、正則性という一点で結ばれる。

証明の勘所だけ。$(\Rightarrow)$ 正則なら $\mathfrak m$ が正則列で生成され、剰余体 $k$ の自由分解は コズュル複体（第10章）——長さ $\dim R$ で止まる。ゆえに $\operatorname{pd}_R k=\dim R<\infty$。 $(\Leftarrow)$ $\operatorname{pd}_R k<\infty$ なら、アウスランダー–ブックスバウムの公式で $\operatorname{pd}_R k+\operatorname{depth}k=\operatorname{depth}R$、$\operatorname{depth}k=0$ より $\operatorname{pd}_R k=\operatorname{depth}R\le\dim R$。 一方 $\operatorname{pd}_R k\ge\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2\ge\dim R$。挟んで $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim R$—— 正則。第10章のコズュル複体と本章のアウスランダー–ブックスバウムが、両方向の橋になっています。

この定理は、宙吊りだった問い全部に答えます。なぜ正則局所環は UFD なのか（アウスランダー–ブックスバウム）、 なぜ正則性が局所化で保たれるのか——どれも「有限大域次元」というホモロジー的性質からほぼ自動で従う。 $\operatorname{gl.dim}R_{\mathfrak p}\le\operatorname{gl.dim}R$（局所化で大域次元は増えない）から、 正則局所環の局所化は正則——接空間の議論では手も足も出なかったこの事実が、ホモロジーだと一行です。 「正則性はホモロジー的な性質だった」——セールのこの洞察が、可換環論を現代的な姿へ変えました。

この分野を振り返って

この章のまとめ

• 射影次元 $\operatorname{pd}M$＝分解の最短の長さ（$\operatorname{Ext}$ の消滅次数）、大域次元 $\operatorname{gl.dim}R=\sup_M\operatorname{pd}M$。
• ヒルベルトのシジジー定理：$\operatorname{gl.dim}k[x_1,\dots,x_n]=n$（分解は有限段で止まる）。 アウスランダー–ブックスバウム：$\operatorname{pd}M+\operatorname{depth}M=\operatorname{depth}R$（複雑さと太さの保存則）。
• セールの定理：正則局所環 ⟺ 有限大域次元（$\operatorname{gl.dim}R=\dim R$）。幾何の滑らかさとホモロジーの 有限性が一致し、正則性が局所化で保たれること・UFD であることが自動で従う。可換環論とホモロジー代数の統合点。

局所化の一点から始まった旅は、素イデアルの鎖で次元を測り、複体でズレを測り、最後に「滑らかさとは ホモロジーの有限性である」という一つの真実へ到達しました。図形と環を同じ言葉で語り、そのズレを測る—— 可換環論とホモロジー代数は、こうして現代数学の共通言語になったのです。