第11章 コーエン–マコーレー環

前章で $\operatorname{depth}M\le\dim M$——「太さ ≤ 大きさ」を見ました。多くの環ではここに隙間が空きます。 隙間が空くのは「低次元の余分な成分がこびりついている」やせた状況。逆に、隙間なくぴったり $\operatorname{depth}=\dim$ が成り立つ環は、驚くほど良い性質を持ちます。それがコーエン–マコーレー環 （CM 環）——正則局所環をも含む、可換環論と代数幾何の中心的なクラスです。「均整のとれた環」の代数的な定義です。

定義：太さと大きさが一致する

前章の不等式で「$\le$」は常に成り立つので、CM 性は「$\ge$」——つまり次元と同じ本数だけ正則列が取れる ことを意味します。第4章のパラメータ系（$\dim R$ 個で $\mathfrak m$-準素を生成）を思い出すと、CM 環では パラメータ系がそのまま正則列になる：切りたい方向の全部で、独立に切り込める。「$d$ 次元なら $d$ 本、 綺麗に独立に切れる」——これが均整の正体です。

含意関係を押さえましょう。正則局所環はコーエン–マコーレーです。正則局所環では $\mathfrak m$ が正則列で 生成される（第6章＋第10章のコズュル分解）ので、$\operatorname{depth}=\dim$。逆は成り立たない——CM だが正則でない環は たくさんあります（尖点など。特異でも「太さが揃って」いればよい）。包含は

CM は「滑らかさ（正則）」よりずっと緩く、しかし「均整」という強力な良さを保つ、絶妙な中間クラスです。

例と、非CMの姿

CM な例：正則局所環すべて、$0$ 次元局所環（アルティン局所環はすべて CM）、DVR、完全交叉、 $k[x,y]/(xy)$（二直線の交わり——特異だが CM）。完全交叉——正則局所環を正則列で割った $R/(f_1,\dots,f_c)$——は代表的な CM 環で、「ちょうど余次元の本数だけの方程式で定義される」幾何的に素直な対象です。

非CM な例が概念を照らします。$k[x,y,z]/(x)\cap(y,z)=k[x,y,z]/(xy,xz)$——平面 $\{x=0\}$ と直線 $\{y=z=0\}$ の和。次元は $2$（平面が支配）だが、$0$ 次元でない極大イデアルの近くで深さが $1$ に落ちる。 「$2$ 次元の平面に、$1$ 次元の直線が一点で刺さっている」——次元の違う成分が混ざったやせた形が、 深さと次元の隙間 $\operatorname{depth}=1<2=\dim$ として現れます。CM 性は、まさにこの「異次元の成分の混在」を禁じます。

非混合定理：CM は余分な成分を持たない

CM 性の幾何的な意味を、いちばん鮮やかに述べるのが非混合定理です。

第2章の準素分解で「埋め込まれた素イデアル＝見えない低次元成分」がありました。CM 環では、 方程式で切って得たイデアルに、そういう余分な成分が一切くっつかない。切った断面が、期待どおりの次元で 綺麗に揃う。上の非CM 例で「平面＋刺さった直線」が禁じられるのは、まさにこの非混合性ゆえです。 「CM ＝ 方程式で切ると、いつも均整のとれた断面が出る環」——これが最も直感的な言い換えです。

なぜ CM がありがたいのか

CM 環では、たくさんの定理が「余計な仮定なしに」成り立ちます。

• 次元の加法性：$\operatorname{ht}\mathfrak p+\dim R/\mathfrak p=\dim R$ が等号で成り立つ（一般には $\le$）。 余次元と次元がきれいに補い合う。
• 鎖状性（catenary）：任意の二つの素イデアルの間の飽和鎖はすべて同じ長さ。次元の計算が経路に依らない。
• 自由性・双対性：CM 加群上でパラメータ系で割ると長さが次元と両立し、局所双対定理 （グロタンディーク双対の局所版）が働く。標準加群という「双対の相棒」が behave する。

これらのおかげで、CM 環は代数幾何・組合せ論・不変式論で「計算がうまくいく安全地帯」として機能します。 代数幾何では CM スキームで交叉理論・双対が素直になり、組合せ論では 「スタンレー–ライスナー環が CM ⟺ 単体的複体がシェラブル」といった橋も架かります。CM 性は、 可換環論が現実の計算を支える土台なのです。

この章のまとめ

• コーエン–マコーレー環＝ $\operatorname{depth}R=\dim R$（太さと大きさが一致）。次元ぶんの正則列が取れ、 パラメータ系が正則列になる。正則 ⊊ CM ⊊ ネーター。
• 非混合定理：CM ⟺ 方程式で切ったイデアルに埋め込まれた（低次元の余分な）成分がない。 「異次元の成分の混在を禁じる均整」が幾何的な意味。非CM 例は「平面に直線が刺さった」形。
• CM 環では次元の加法性・鎖状性・局所双対が素直に成り立ち、代数幾何・組合せ論の計算の安全地帯になる。

「均整」は捉えました。残るは最初に宙吊りにした問い——正則局所環とは、本当は何なのか。その完全な答えを、 最終章でホモロジー（大域次元）を使って射抜きます。可換環論とホモロジー代数が、一つの定理で溶け合います。