第6章 完備化と正則局所環

曲線 $y^2=x^3$ は原点で尖り（尖点）、$y^2=x^2(x+1)$ は原点で自分自身と交わる（節点）。こうした 特異点と、なめらかな点とを、環の言葉でどう区別するか。答えが正則局所環——「特異点のない、 いちばん素直な局所環」です。鍵は微分幾何でおなじみの接空間を、純代数的に $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ として 捉えること。そしてもう一つ、テイラー展開の代数版完備化を導入し、可換環論の前半を締めくくります。

余接空間 𝔪/𝔪²：微分を代数で作る

局所環 $(R,\mathfrak m)$ の極大イデアル $\mathfrak m$ は「その点で消える関数たち」。$\mathfrak m^2$ は「$2$ 次以上で 消える関数」（積で二重に消える）。差をとった $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は「$1$ 次の消え方」だけを取り出す—— これは関数の線形近似＝微分そのものです。剰余体 $k=R/\mathfrak m$ 上のベクトル空間になります。

なぜこれが接空間なのか。$R=k[x,y]$ を原点 $\mathfrak m=(x,y)$ で局所化すると、$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $x,y$ の像で張られる $2$ 次元——ちょうど平面の接ベクトルの自由度。関数 $f$ に対し $f-f(p)$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像が「$f$ の $1$ 階微分 $df$」に対応します。微分幾何で 座標と極限で定義した接空間が、ここでは剰余だけで——極限も座標も使わず——作れる。これが代数幾何の 強みで、任意の環・任意の体上で「微分」が意味を持ちます。

第4章で「局所環の次元 $d=\dim R$ は、パラメータ系の最小本数」でした。一方 $\mathfrak m$ を生成するのに要る 元の最小本数は、中山の補題により $\dim_k \mathfrak m/\mathfrak m^2$（余接空間の次元）に等しい。 二つの数を比べると、常に $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2\ge\dim R$——接空間は次元以上に太りうる。等号が 「太っていない＝素直」の印です。

正則局所環：接空間が太らない点

尖点 $R=k[x,y]/(y^2-x^3)$ の原点で確かめましょう。次元は $1$（曲線）。ところが $\mathfrak m=(x,y)$ で $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を見ると、関係式 $y^2-x^3$ は $2$ 次以上なので $\mathfrak m^2$ に沈み、$1$ 次では効かない。 だから $x,y$ は独立に残り $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=2>1=\dim R$。接空間が太っている＝特異。 なめらかな点なら関係式が $1$ 次の情報を減らし、ぴったり一致します。「接空間の太り具合が特異性を検出する」—— 微分幾何のヤコビ判定を、代数で純化した姿です。

正則局所環の良い性質を先取りしておきます（証明の一部は後半のホモロジーで）。

「正則 ⇒ 整閉 ⇒（デデキント環の文脈で）良い」という含意で、前章までの概念が一列に並びます。 正則性は「幾何の滑らかさ」の代数版であり、この分野の理想的な対象です。しかし $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の 比較だけでは、正則性の深い意味（なぜ UFD になるか、なぜ特別か）は掴めません。その真の特徴づけ—— 正則 ⟺ ホモロジー的に有限——が、後半のクライマックス（第12章）で明かされます。本章はその舞台設定です。

完備化：テイラー展開の代数版

局所環をさらに近似的に単純化する強力な操作が完備化です。発想は解析のテイラー展開。 関数を原点の周りで $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ と無限次まで展開すると、局所的な情報が丸ごと捉えられる。 これを代数的に、$\mathfrak m$-進の「小ささ」で極限をとって実現します。

「$\mathfrak m^n$ で割った近似を、$n\to\infty$ で貼り合わせる」。$\mathbb{Z}$ を $(p)$ で完備化すると $p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$（$p$ 進展開 $a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots$）、$k[x]$ を $(x)$ で完備化すると 形式的べき級数環 $k[[x]]$。完備化の絶大な威力は構造を単純にすること：

「完備化すれば、正則局所環はべき級数環そのもの」。ばらばらだった局所環が、完備化で標準形に揃う。しかも 完備化は多くの性質（次元・正則性・深さ）を保ち、ネーター性も保つ（$\widehat R$ もネーター）。だから 「難しい問題を完備化で単純な $k[[x]]$ に持ち込んで解く」という戦略が使えます。解析でテイラー展開が 局所解析を可能にしたのと同じ役割を、完備化が代数で果たすのです。

この章のまとめ

• 余接空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は「$1$ 次の消え方」＝代数的な微分。その双対がザリスキ接空間で、 座標も極限も使わず微分幾何の接空間を再現する。
• 正則局所環＝ $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim R$（接空間が太らない滑らかな点）。$\mathfrak m$ が $\dim R$ 個で 生成される。太れば特異点（尖点・節点）。正則 ⇒ 整域・整閉・UFD、次元 $1$ なら DVR。
• 完備化 $\widehat R=\varprojlim R/\mathfrak m^n$ はテイラー展開の代数版。正則なら $k[[x_1,\dots,x_d]]$ に化け、 難問を標準形に持ち込む。

これで可換環論の前半が完成しました。しかし「正則局所環の真の正体」は宙に浮いたまま。それを射抜くには、 まったく別の道具——ホモロジー代数が要ります。後半は複体とホモロジーから始め、Ext・Tor を経て、 第12章で正則性の完全な特徴づけへと至ります。