第7章複体とホモロジー

ここから分野の後半、ホモロジー代数に入ります。その心は一言——「完全系列がどこで破れるかを測る」。位相幾何学で、図形の穴を「境界の輪だが何かの縁ではない輪」として数えたのを覚えているでしょうか。あの発想を、図形から切り離し、純粋に代数的な機械——複体とホモロジー——に蒸留します。この言語が、可換環論の正則性（第12章）まで貫く共通の道具になります。

鎖複体と ∂²＝0

主役は、加群と写像を一列に並べたものです。

定義鎖複体

$R$ -加群と準同型の列

\cdots \to C_{n+1}\xrightarrow{\ \partial_{n+1}\ } C_n \xrightarrow{\ \partial_{n}\ } C_{n-1}\to\cdots

が鎖複体であるとは、連続する二つの合成がつねに $0$ ：

\partial_n\circ\partial_{n+1}=0\qquad(\text{すべての }n).

$\partial$ を境界作用素という。（矢印が逆向き $\to C^{n}\to C^{n+1}\to$ のものは余鎖複体。）

たった一つの条件 $\partial^2=0$ 。これが何を意味するか、包含関係で読み解きます。 $\partial^2=0$ は「 $\partial_{n+1}$ の像は、 $\partial_n$ の核に含まれる」—— $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$ と同値です。ここで二つの部分加群に名前を付けます。

$\ker\partial_n$ の元＝サイクル（ $Z_n$ ）：「 $\partial$ で $0$ になる」＝閉じているもの。
$\operatorname{im}\partial_{n+1}$ の元＝バウンダリ（ $B_n$ ）：「何かの $\partial$ で来た」＝境界であるもの。

$\partial^2=0$ は「境界はすべて閉じている（ $B_n\subset Z_n$ ）」。位相の直感では「縁（バウンダリ）を持つ輪は必ず閉じている」——当たり前に見えますが、逆は成り立ちません。閉じているのに、どの境界でもないサイクルがあるかもしれない。そのズレこそ、穴の存在を告げるのです。

ホモロジー：閉じているが境界でないズレ

定義ホモロジー

鎖複体 $C_\bullet$ の $n$ 次ホモロジーを、剰余加群

H_n(C_\bullet)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}=\frac{Z_n}{B_n}=\frac{\text{閉じているもの}}{\text{境界であるもの}}

で定める。 $H_n=0$ （すべての $n$ ）のとき、複体は完全であるという。

$H_n$ は「閉じているサイクルのうち、境界で説明できないぶんの余り」。位相なら** $n$ 次元の穴の個数**、代数一般なら「完全性の破れ具合」を測る量です。 $H_n=0$ とは「閉じているものはすべて境界＝ $\operatorname{im}\partial_{n+1}=\ker\partial_n$ 」、つまりその箇所で系列がぴったりつながる（完全系列）。 ホモロジーは、完全系列からのズレを加群として取り出す装置なのです。

一言でまとめれば： $\partial^2=0$ で「境界 ⊂ サイクル」が保証され、その差 $Z_n/B_n$ がホモロジー。 $0$ なら完全、 $0$ でなければそこに「穴」や「障害」がある。ホモロジー代数のすべては、この一つの商から始まります。

鎖写像とホモロジーの関手性

複体どうしを比べるには、各段の写像が境界作用素と両立していなければなりません。

定義鎖写像

複体 $C_\bullet, D_\bullet$ の間の鎖写像 $f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet$ とは、各 $n$ で準同型 $f_n\colon C_n\to D_n$ の族で、 $\partial$ と可換なもの： $\partial_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ\partial_n^C$ （下の四角形がすべて可換）。

可換性のおかげで、鎖写像はサイクルをサイクルに、バウンダリをバウンダリに送ります。だから商に降りて、 ホモロジーの間の写像 $H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D)$ を誘導する。これが $H_n$ の関手性： $H_n(g\circ f)=H_n(g)\circ H_n(f)$ 、 $H_n(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ 。圏論の言葉で、 $H_n$ は「複体の圏 → 加群の圏」の関手です。複体を作り、ホモロジーを取れば、写像も自動で移る——この機械的な移行が、複雑な代数・幾何の情報を計算可能な加群に落とす原動力になります。

鎖ホモトピー：見かけが違っても同じ写像

二つの鎖写像が「ホモロジー上では区別できない」ことがあります。それを保証するのが、位相のホモトピー（連続変形）を代数化した鎖ホモトピーです。

定義鎖ホモトピー

鎖写像 $f_\bullet, g_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet$ が鎖ホモトピックとは、次数を一つ上げる写像の族 $s_n\colon C_n\to D_{n+1}$ が存在して

f_n-g_n=\partial_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ\partial_n^C

となること。

定理ホモトピー不変性

鎖ホモトピックな $f,g$ は、ホモロジー上で同じ写像を誘導する： $H_n(f)=H_n(g)$ 。

証明

サイクル $z\in Z_n$ （ $\partial z=0$ ）で差を評価すると $f_n(z)-g_n(z)=\partial_{n+1}s_n(z)+s_{n-1}\underbrace{\partial_n z}_{=0}=\partial_{n+1}\big(s_n(z)\big)$ 。これはバウンダリ $B_n$ の元。ゆえに $H_n$ では $f_n(z)$ と $g_n(z)$ は同じ類、 $H_n(f)=H_n(g)$ 。

証明の効き所は「サイクルでは $\partial z=0$ で片方の項が消え、残りが境界になる」ところ。境界の差はホモロジーで見えない——だから見かけの違う写像が同一視されます。この道具は次章以降で決定的です。とくに「恒等写像が $0$ 写像とホモトピックな複体」は、ホモロジーがすべて $0$ （可縮）——これが分解の well-defined 性（第9章、導来関手が分解の取り方に依らないこと）を支えます。位相の「連続変形で不変」という直感が、 $s$ という一本の代数的な式に凝縮されているのが見どころです。

注意つまずきポイント

$\partial^2=0$ は「境界 ⊂ サイクル」であって「＝」ではない。 等号なら完全（穴なし）。ホモロジーはその差 $Z/B$ を測る。 $\partial^2=0$ がなければ商 $Z/B$ すら定義できない（ $B\subset Z$ が要る）。
ホモロジーは加群であって数ではない。 位相では階数（ベッチ数）を数えるが、一般には $H_n$ は加群の構造（ねじれ等）まで持つ。 $H_n=0$ ／ $\ne0$ の別が「完全か否か」。
鎖ホモトピー $s$ は鎖写像ではない（次数を上げ、 $\partial$ と可換でない）。あくまで二つの鎖写像の差を境界で埋める「補間」。同型でなくてもホモロジーを一致させられるのが強み。

この章のまとめ

鎖複体＝ $\partial^2=0$ を満たす加群の列。これは「 $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$ （境界 ⊂ サイクル）」と同値。
ホモロジー $H_n=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}$ ＝「閉じているが境界でないズレ」＝ 完全系列からの破れ。 $H_n=0$ ⟺ その箇所で完全。 $H_n$ は関手（鎖写像が誘導）。
鎖ホモトピーは位相の連続変形の代数版で、ホモトピックな写像はホモロジー上一致（ホモトピー不変性）。分解の一意性を支える鍵。

複体という器と、ズレを測るホモロジーができました。次章は、短完全系列から長完全系列を生む「蛇の補題」と、任意の加群を complex で近似する分解——導来関手の材料をそろえます。

第7章 複体とホモロジー