⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第7章 複体とホモロジー

ここから分野の後半、ホモロジー代数に入ります。その心は一言——「完全系列がどこで破れるかを測る」。 位相幾何学で、図形の穴を「境界の輪だが何かの縁ではない輪」として数えたのを 覚えているでしょうか。あの発想を、図形から切り離し、純粋に代数的な機械——複体とホモロジー——に 蒸留します。この言語が、可換環論の正則性（第12章）まで貫く共通の道具になります。

鎖複体と ∂²＝0

主役は、加群と写像を一列に並べたものです。

定義 鎖複体

RR-加群と準同型の列

⋯→Cn+1→ ∂n+1 Cn→ ∂n Cn−1→⋯\cdots \to C_{n+1}\xrightarrow{\ \partial_{n+1}\ } C_n \xrightarrow{\ \partial_{n}\ } C_{n-1}\to\cdots

が鎖複体であるとは、連続する二つの合成がつねに 00：

∂n∘∂n+1=0(すべての n).\partial_n\circ\partial_{n+1}=0\qquad(\text{すべての }n).

∂\partial を境界作用素という。（矢印が逆向き →Cn→Cn+1→\to C^{n}\to C^{n+1}\to のものは余鎖複体。）

たった一つの条件 ∂2=0\partial^2=0。これが何を意味するか、包含関係で読み解きます。∂2=0\partial^2=0 は 「∂n+1\partial_{n+1} の像は、∂n\partial_n の核に含まれる」——im⁡∂n+1⊂ker⁡∂n\operatorname{im}\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n と 同値です。ここで二つの部分加群に名前を付けます。

  • ker⁡∂n\ker\partial_n の元＝サイクル（ZnZ_n）：「∂\partial で 00 になる」＝閉じているもの。
  • im⁡∂n+1\operatorname{im}\partial_{n+1} の元＝バウンダリ（BnB_n）：「何かの ∂\partial で来た」＝境界であるもの。

∂2=0\partial^2=0 は「境界はすべて閉じている（Bn⊂ZnB_n\subset Z_n）」。位相の直感では「縁（バウンダリ）を持つ輪は 必ず閉じている」——当たり前に見えますが、逆は成り立ちません。閉じているのに、どの境界でもないサイクルが あるかもしれない。そのズレこそ、穴の存在を告げるのです。

ホモロジー：閉じているが境界でないズレ

定義 ホモロジー

鎖複体 C∙C_\bullet の nn 次ホモロジーを、剰余加群

Hn(C∙)=ker⁡∂nim⁡∂n+1=ZnBn=閉じているもの境界であるものH_n(C_\bullet)=\frac{\ker\partial_n}{\operatorname{im}\partial_{n+1}}=\frac{Z_n}{B_n}=\frac{\text{閉じているもの}}{\text{境界であるもの}}

で定める。Hn=0H_n=0（すべての nn）のとき、複体は完全であるという。

HnH_n は「閉じているサイクルのうち、境界で説明できないぶんの余り」。位相なら**nn 次元の穴の個数**、 代数一般なら「完全性の破れ具合」を測る量です。Hn=0H_n=0 とは「閉じているものはすべて境界＝ im⁡∂n+1=ker⁡∂n\operatorname{im}\partial_{n+1}=\ker\partial_n」、つまりその箇所で系列がぴったりつながる（完全系列）。 ホモロジーは、完全系列からのズレを加群として取り出す装置なのです。

一言でまとめれば：∂2=0\partial^2=0 で「境界 ⊂ サイクル」が保証され、その差 Zn/BnZ_n/B_n がホモロジー。 00 なら完全、00 でなければそこに「穴」や「障害」がある。ホモロジー代数のすべては、この一つの商から始まります。

鎖写像とホモロジーの関手性

複体どうしを比べるには、各段の写像が境界作用素と両立していなければなりません。

定義 鎖写像

複体 C∙,D∙C_\bullet, D_\bullet の間の鎖写像 f∙ ⁣:C∙→D∙f_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet とは、各 nn で 準同型 fn ⁣:Cn→Dnf_n\colon C_n\to D_n の族で、∂\partial と可換なもの：∂nD∘fn=fn−1∘∂nC\partial_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ\partial_n^C （下の四角形がすべて可換）。

可換性のおかげで、鎖写像はサイクルをサイクルに、バウンダリをバウンダリに送ります。だから商に降りて、 ホモロジーの間の写像 Hn(f) ⁣:Hn(C)→Hn(D)H_n(f)\colon H_n(C)\to H_n(D) を誘導する。これが HnH_n の関手性： Hn(g∘f)=Hn(g)∘Hn(f)H_n(g\circ f)=H_n(g)\circ H_n(f)、Hn(id)=idH_n(\mathrm{id})=\mathrm{id}。圏論の言葉で、HnH_n は 「複体の圏 → 加群の圏」の関手です。複体を作り、ホモロジーを取れば、写像も自動で移る——この機械的な移行が、 複雑な代数・幾何の情報を計算可能な加群に落とす原動力になります。

鎖ホモトピー：見かけが違っても同じ写像

二つの鎖写像が「ホモロジー上では区別できない」ことがあります。それを保証するのが、位相の ホモトピー（連続変形）を代数化した鎖ホモトピーです。

定義 鎖ホモトピー

鎖写像 f∙,g∙ ⁣:C∙→D∙f_\bullet, g_\bullet\colon C_\bullet\to D_\bullet が鎖ホモトピックとは、次数を一つ上げる 写像の族 sn ⁣:Cn→Dn+1s_n\colon C_n\to D_{n+1} が存在して

fn−gn=∂n+1D∘sn+sn−1∘∂nCf_n-g_n=\partial_{n+1}^D\circ s_n+s_{n-1}\circ\partial_n^C

となること。

定理 ホモトピー不変性

鎖ホモトピックな f,gf,g は、ホモロジー上で同じ写像を誘導する：Hn(f)=Hn(g)H_n(f)=H_n(g)。

証明

サイクル z∈Znz\in Z_n（∂z=0\partial z=0）で差を評価すると fn(z)−gn(z)=∂n+1sn(z)+sn−1∂nz⏟=0=∂n+1(sn(z))f_n(z)-g_n(z)=\partial_{n+1}s_n(z)+s_{n-1}\underbrace{\partial_n z}_{=0}=\partial_{n+1}\big(s_n(z)\big)。 これはバウンダリ BnB_n の元。ゆえに HnH_n では fn(z)f_n(z) と gn(z)g_n(z) は同じ類、Hn(f)=Hn(g)H_n(f)=H_n(g)。

証明の効き所は「サイクルでは ∂z=0\partial z=0 で片方の項が消え、残りが境界になる」ところ。境界の差は ホモロジーで見えない——だから見かけの違う写像が同一視されます。この道具は次章以降で決定的です。 とくに「恒等写像が 00 写像とホモトピックな複体」は、ホモロジーがすべて 00（可縮）——これが 分解の well-defined 性（第9章、導来関手が分解の取り方に依らないこと）を支えます。位相の 「連続変形で不変」という直感が、ss という一本の代数的な式に凝縮されているのが見どころです。

注意 つまずきポイント

  • ∂2=0\partial^2=0 は「境界 ⊂ サイクル」であって「＝」ではない。 等号なら完全（穴なし）。ホモロジーは その差 Z/BZ/B を測る。∂2=0\partial^2=0 がなければ商 Z/BZ/B すら定義できない（B⊂ZB\subset Z が要る）。
  • ホモロジーは加群であって数ではない。 位相では階数（ベッチ数）を数えるが、一般には HnH_n は加群の構造 （ねじれ等）まで持つ。Hn=0H_n=0 ／ ≠0\ne0 の別が「完全か否か」。
  • 鎖ホモトピー ss は鎖写像ではない（次数を上げ、∂\partial と可換でない）。あくまで二つの鎖写像の差を 境界で埋める「補間」。同型でなくてもホモロジーを一致させられるのが強み。

この章のまとめ

  • 鎖複体＝ ∂2=0\partial^2=0 を満たす加群の列。これは「im⁡∂n+1⊂ker⁡∂n\operatorname{im}\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n （境界 ⊂ サイクル）」と同値。
  • ホモロジー Hn=ker⁡∂n/im⁡∂n+1H_n=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}＝「閉じているが境界でないズレ」＝ 完全系列からの破れ。Hn=0H_n=0 ⟺ その箇所で完全。HnH_n は関手（鎖写像が誘導）。
  • 鎖ホモトピーは位相の連続変形の代数版で、ホモトピックな写像はホモロジー上一致（ホモトピー不変性）。 分解の一意性を支える鍵。

複体という器と、ズレを測るホモロジーができました。次章は、短完全系列から長完全系列を生む 「蛇の補題」と、任意の加群を complex で近似する分解——導来関手の材料をそろえます。