⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第8章 蛇の補題と分解

前章でホモロジーという「ズレを測る器」ができました。本章は二つの装置を組み立てます。一つは、短い完全系列を 入れると長い完全系列が出てくる魔法の機械——蛇の補題。もう一つは、扱いにくい加群を、 素直な加群の複体で近似する分解。この二つが、次章の導来関手（Ext・Tor）を作る材料の すべてです。加群論で名前だけ見たこれらを、今度は正面から組み上げます。

蛇の補題

複体の短完全系列——三つの複体が縦に 0→A∙→B∙→C∙→00\to A_\bullet\to B_\bullet\to C_\bullet\to0 と各段で完全に並ぶ状況——を 考えます。各複体はホモロジーを持つ。問題は「A,B,CA,B,C のホモロジーがどう関係するか」。答えが蛇の補題です。

定理 蛇の補題

RR-加群の可換図式で、二つの横列がともに完全系列とする：

A→B→C→0↓f↓g↓h0→A′→B′→C′\begin{array}{ccccccccc} & & A & \to & B & \to & C & \to & 0\\ & & \downarrow{\scriptstyle f} & & \downarrow{\scriptstyle g} & & \downarrow{\scriptstyle h} & & \\ 0 & \to & A' & \to & B' & \to & C' & & \end{array}

このとき、核と余核をつなぐ完全系列が存在する：

ker⁡f→ker⁡g→ker⁡h→ δ coker⁡f→coker⁡g→coker⁡h.\ker f\to\ker g\to\ker h\xrightarrow{\ \delta\ }\operatorname{coker}f\to\operatorname{coker}g\to\operatorname{coker}h.

左端に 0→0\to、右端に →0\to0 を付ける条件も、両横列の端の完全性から従う。

名前の由来は、ker⁡h\ker h から coker⁡f\operatorname{coker}f へ上の行から下の行へS字（蛇）を描いてつなぐ矢印 δ\delta——連結準同型にあります。この δ\delta の構成が補題の心臓で、 「図式追跡（diagram chasing）」という技法の見本です。

証明 （連結準同型 δ の構成）

c∈ker⁡h⊂Cc\in\ker h\subset C をとる。B→CB\to C は全射だから、cc を持ち上げて b∈Bb\in B（b↦cb\mapsto c）をとる。 g(b)∈B′g(b)\in B' を下の行 B′→C′B'\to C' で送ると、可換性より h(c)=0h(c)=0 の像なので 00。完全性から g(b)g(b) は A′→B′A'\to B' の像、すなわち一意の a′∈A′a'\in A' で a′↦g(b)a'\mapsto g(b)。この a′a' の coker⁡f=A′/im⁡f\operatorname{coker}f=A'/\operatorname{im}f での 類を δ(c)\delta(c) と定める。持ち上げ bb の取り方の任意性は、ちょうど im⁡f\operatorname{im}f のぶんだけ動くので、 coker⁡f\operatorname{coker}f では消えて well-defined。準同型性と完全性の確認も同様の追跡で済む。

「持ち上げて、横に送って、また引き戻す」——このS字の一往復が δ\delta。図式追跡は初見では手品のようですが、 やっていることは「全射だから持ち上がる」「核だから像が消える」「完全だから引き戻せる」という完全性の言い換えを 順に使うだけ。慣れると機械的に追えます。蛇の補題は、次の最重要系を生みます。

定理 ホモロジー長完全系列

複体の短完全系列 0→A∙→B∙→C∙→00\to A_\bullet\to B_\bullet\to C_\bullet\to0 から、ホモロジーの長完全系列が生じる：

⋯→Hn(A)→Hn(B)→Hn(C)→ δ Hn−1(A)→Hn−1(B)→⋯\cdots\to H_n(A)\to H_n(B)\to H_n(C)\xrightarrow{\ \delta\ }H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to\cdots

一段ぶんの短い完全系列が、全次数をS字でつなぐ無限の鎖にほどける。この長完全系列こそ、ホモロジー代数の 主力兵器です。「一箇所の情報から、芋づる式に全次数の関係が出る」——第9章の Ext・Tor の計算も、 位相のマイヤー–ヴィートリスも、みなこの機械から出てきます。連結準同型 δ\delta が 「次数を一つ落として橋を架ける」のが、全体をつなぐ要です。

分解：素直な加群で近似する

ホモロジー代数のもう一つの発想は、「調べたい加群 MM を、扱いやすい加群の複体で置き換える」ことです。 微積分で関数を多項式（テイラー級数）で近似したように、加群を「良い加群」の列で近似する。何を「良い」と するかで、二種類の分解が生まれます。

定義 射影分解・入射分解

RR-加群 MM の射影分解とは、射影加群（自由加群の直和因子）の複体と全射

⋯→P2→P1→P0→M→0\cdots\to P_2\to P_1\to P_0\to M\to0

で、これが完全系列になるもの。双対に、入射加群の複体で MM を右から包む

0→M→I0→I1→I2→⋯0\to M\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

を入射分解という。

射影分解は「MM を自由加群（や射影加群）の関係で書き下す」こと。まず生成元を並べて全射 P0↠MP_0\twoheadrightarrow M、 その核（関係式＝シジジー）をまた自由加群 P1P_1 で覆い、さらにその関係の関係を P2P_2 で…と 続けます。存在は易しい：どんな加群も自由加群の商だから、この手続きはいつでも始められ、繰り返せる。

例で握りましょう。R=ZR=\mathbb{Z}、M=Z/mM=\mathbb{Z}/m の射影（自由）分解は、たった二項で終わります：

0→Z→ ×m Z→Z/m→0.0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ \times m\ }\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\to0.

「Z/m\mathbb{Z}/m は、Z\mathbb{Z} を生成元一つ・関係式 m=0m=0 一つで表したもの」。この短さ（長さ 11）が、後で 「Z\mathbb{Z} の大域次元は 11」に効いてきます。多項式環 k[x]k[x] 上でも同様に短い分解が作れます。

決定的なのは、分解が本質的に一意なことです。

定理 分解の一意性（比較定理）

MM の二つの射影分解は、MM 上の恒等写像を延長する鎖写像で結ばれ、その鎖写像は鎖ホモトピーの違いを除いて一意。 特に二つの射影分解は互いに鎖ホモトピー同値。

証明は、射影加群の定義（全射を通した写像の持ち上げができる）で、一段ずつ写像を構成し、前章の 鎖ホモトピーで一意性を吸収する——まさに第7章のホモトピー不変性の出番です。この一意性が 次章で効きます：「分解に何か関手を施してホモロジーを取る」とき、どの分解を選んでも結果が同じ。 だからこそ導来関手（Ext・Tor）が MM だけで決まる不変量として well-defined になるのです。

注意 つまずきポイント

  • 蛇の補題の δ\delta は「S字に一往復」して作る。 持ち上げ→横に送る→引き戻す。各ステップの正当性は 完全性そのもの。図式追跡は魔法ではなく、完全性の逐次適用。
  • 長完全系列は次数を一つ落とす δ\delta で全次数がつながる。 短完全系列一つが無限の鎖に化ける—— 一点の情報から芋づる式に、がホモロジー代数の常套。
  • 分解は一意でないが、鎖ホモトピー同値の意味で一意。 個々の PiP_i の選び方は自由でも、ホモロジーを 取った後の結果は不変。この「見かけは違うが本質同じ」を保証するのが鎖ホモトピー。

この章のまとめ

  • 蛇の補題：二行の完全図式から、核と余核をS字でつなぐ完全系列が出る。心臓は連結準同型 δ\delta （持ち上げ→送る→引き戻す図式追跡）。これが複体の短完全系列をホモロジー長完全系列にほどく。
  • 分解：加群 MM を射影加群（左から）／入射加群（右から）の complex で近似する。存在は易しく、 Z/m\mathbb Z/m は 0→Z→×mZ→Z/m→00\to\mathbb Z\xrightarrow{\times m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0 と長さ 11。
  • 分解は鎖ホモトピー同値の意味で一意（比較定理）。この一意性が、次章の導来関手が分解に依らないことを保証する。

材料はそろいました。次章、いよいよ「関手を分解に施してホモロジーを取る」という導来関手の一般機械を回し、 Ext と Tor を——分解の取り方に依らない不変量として——構成します。