⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第9章 導来関手 — Ext と Tor

加群論で、Hom⁡\operatorname{Hom} は左完全・⊗\otimes は右完全——完全性が片側で破れるのを見ました。 「破れをどう測るか」への答えが導来関手です。前章までの材料（分解・ホモロジー・長完全系列）を 組み合わせ、「関手を分解に施してホモロジーを取る」という一般機械を回す。すると、破れの度合いが Ext・Tor という不変量として立ち上がります。ホモロジー代数の心臓部です。

なぜ導来関手が要るのか

短完全系列 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 に関手 FF を施すと、一般には完全性が壊れます。たとえば Hom⁡(N,−)\operatorname{Hom}(N,-)（左完全）は

0→Hom⁡(N,A)→Hom⁡(N,B)→Hom⁡(N,C)0\to\operatorname{Hom}(N,A)\to\operatorname{Hom}(N,B)\to\operatorname{Hom}(N,C)

までは完全ですが、最後の →0\to0 が付かない——右への全射性が破れる。−⊗N-\otimes N（右完全）なら逆に 左の単射性が破れます。この「破れたぶん」を測る加群を系統的に作り、破れた系列を長完全系列で 00 まで伸ばしきる——それが導来関手のねらいです。

一般機械：分解して、施して、ホモロジー

作り方は、前章の材料をこの順に組むだけです。

定義 （左）導来関手

右完全関手 FF の左導来関手 LnFL_nF を次で定める。加群 MM の射影分解 ⋯→P1→P0→M→0\cdots\to P_1\to P_0\to M\to0 をとり、MM を落とした複体 P∙P_\bullet に FF を施し、そのホモロジーをとる：

LnF(M)=Hn(F(P∙))=Hn(⋯→F(P1)→F(P0)→0).L_nF(M)=H_n\big(F(P_\bullet)\big)=H_n\big(\cdots\to F(P_1)\to F(P_0)\to0\big).

双対に、左完全関手 GG の右導来関手 RnGR^nG は、入射分解に GG を施した余鎖複体のコホモロジー。

三段構え——分解する（MM を素直な complex P∙P_\bullet に置き換え）、施す（FF を各段に適用）、 ホモロジーを取る（ズレを測る）。FF が完全性を保つ理想の関手なら分解は分解のまま保たれ、HnH_n は n≥1n\ge1 で 00。FF が破る箇所でだけ Hn≠0H_n\ne0 が生じる——導来関手は完全性の破れそのものを捉えます。 L0F=FL_0F=F、R0G=GR^0G=G（元の関手が 00 次に復元される）。

ここで前章の一意性が決定的に効きます。分解は無数にあるのに——

定理 well-defined 性（分解に依らない）

LnF(M)L_nF(M)、RnG(M)R^nG(M) は、選んだ射影分解・入射分解に依らず MM だけで定まる。

証明 （要点）

二つの射影分解は前章の比較定理より鎖ホモトピー同値。FF は加法的関手だから 鎖ホモトピーを鎖ホモトピーに保つ（F(∂s+s∂)=F(∂)F(s)+F(s)F(∂)F(\partial s+s\partial)=F(\partial)F(s)+F(s)F(\partial)）。第7章の ホモトピー不変性より、鎖ホモトピー同値な複体は同じホモロジーを与える。ゆえに Hn(F(P∙))H_n(F(P_\bullet)) は 分解の取り方に依らない。

「見かけの違う分解が、ホモロジーでは同じ答え」——第7章で仕込んだ鎖ホモトピーの伏線が、ここで回収されます。 この保証があって初めて、導来関手は MM の不変量として意味を持ちます。

Tor：テンソルの破れ

右完全関手 −⊗RN-\otimes_R N の左導来関手が Tor です。

定義 Tor

Tor⁡nR(M,N)=Ln(−⊗N)(M)=Hn(P∙⊗N)(P∙→M 射影分解).\operatorname{Tor}_n^R(M,N)=L_n(-\otimes N)(M)=H_n\big(P_\bullet\otimes N\big)\qquad(P_\bullet\to M \text{ 射影分解}).

Tor⁡0=M⊗N\operatorname{Tor}_0=M\otimes N（元に戻る）。Tor⁡n≥1\operatorname{Tor}_{n\ge1} が、⊗\otimes が単射性を壊した破れを測ります。 Z\mathbb{Z} 上で計算してみましょう。M=Z/mM=\mathbb{Z}/m の分解 0→Z→×mZ→00\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\times m}\mathbb{Z}\to0 に −⊗Z/n-\otimes\mathbb{Z}/n を施すと 0→Z/n→×mZ/n→00\to\mathbb{Z}/n\xrightarrow{\times m}\mathbb{Z}/n\to0。この複体のホモロジー：

Tor⁡0=Z/n/mZ/n=Z/gcd⁡(m,n),Tor⁡1=ker⁡(×m:Z/n→Z/n)=Z/gcd⁡(m,n).\operatorname{Tor}_0=\mathbb{Z}/n\big/m\mathbb{Z}/n=\mathbb{Z}/\gcd(m,n),\qquad \operatorname{Tor}_1=\ker(\times m:\mathbb{Z}/n\to\mathbb{Z}/n)=\mathbb{Z}/\gcd(m,n).

Tor⁡1Z(Z/m,Z/n)=Z/gcd⁡(m,n)\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)=\mathbb{Z}/\gcd(m,n)——互いに素なら 00、共通因子があれば その分だけねじれが現れる。名前の由来どおり Tor はねじれ（torsion）を検出します。Tor⁡n=0 (n≥1)\operatorname{Tor}_n=0\ (n\ge1) がすべての NN で成り立つことが、MM の平坦性と同値——平坦加群の ホモロジー的な正体がこれです。

Ext：Hom の破れ、そして拡大の分類

左完全関手 Hom⁡R(−,N)\operatorname{Hom}_R(-,N)（反変）の右導来関手が Ext です。

定義 Ext

Ext⁡Rn(M,N)=RnHom⁡(−,N)(M)=Hn(Hom⁡(P∙,N))(P∙→M 射影分解).\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=R^n\operatorname{Hom}(-,N)(M)=H^n\big(\operatorname{Hom}(P_\bullet,N)\big)\qquad(P_\bullet\to M \text{ 射影分解}).

（入射分解を使って Hom⁡(M,−)\operatorname{Hom}(M,-) から作っても同型で、どちらでもよい。）

Ext⁡0=Hom⁡(M,N)\operatorname{Ext}^0=\operatorname{Hom}(M,N)。Ext⁡n≥1\operatorname{Ext}^{n\ge1} が、Hom⁡\operatorname{Hom} が全射性を壊した破れを測ります。 同じ Z/m\mathbb{Z}/m の分解に Hom⁡(−,Z/n)\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z}/n) を施すと 0→Z/n→×mZ/n→00\to\mathbb{Z}/n\xrightarrow{\times m}\mathbb{Z}/n\to0 （Hom⁡(Z,Z/n)=Z/n\operatorname{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n)=\mathbb{Z}/n）で、Ext⁡Z1(Z/m,Z/n)=Z/gcd⁡(m,n)\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z}/n)=\mathbb{Z}/\gcd(m,n)。

Ext には Tor にない、驚くべき幾何的意味があります。

定理 Ext¹ は拡大を分類する

Ext⁡R1(C,A)\operatorname{Ext}^1_R(C,A) は、AA による CC の拡大——短完全系列 0→A→E→C→00\to A\to E\to C\to0——の 同値類の集合と一対一に対応する。零元が分裂拡大 E=A⊕CE=A\oplus C に対応する。

「AA と CC を、どんな EE で貼り合わせられるか」の分類が Ext⁡1\operatorname{Ext}^1。Ext⁡1=0\operatorname{Ext}^1=0 なら 貼り合わせは直和しかない（分裂）。≠0\ne0 なら「ねじれた貼り合わせ」が存在する。たとえば Ext⁡Z1(Z/m,Z)=Z/m≠0\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/m\ne0 は、0→Z→Z→Z/m→00\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/m\to0 という 非分裂拡大の存在を語ります。この「拡大の分類」という顔が、Ext を群のコホモロジーや 変形理論へとつなげます。

長完全系列とバランス

導来関手の実用性は、短完全系列を長完全系列に伸ばす点にあります（前章の蛇の補題の果実）。 0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0 に対し、

⋯→Tor⁡1(M,C)→ δ M⊗A→M⊗B→M⊗C→0,\cdots\to\operatorname{Tor}_1(M,C)\xrightarrow{\ \delta\ }M\otimes A\to M\otimes B\to M\otimes C\to0, 0→Hom⁡(M,A)→Hom⁡(M,B)→Hom⁡(M,C)→ δ Ext⁡1(M,A)→⋯ .0\to\operatorname{Hom}(M,A)\to\operatorname{Hom}(M,B)\to\operatorname{Hom}(M,C)\xrightarrow{\ \delta\ }\operatorname{Ext}^1(M,A)\to\cdots.

破れて途中で止まっていた系列が、Tor・Ext を継ぎ足すことで**00 まで完全に伸びきる**。しかも Ext・Tor は 両変数で対称に計算できる（どちらの変数を分解しても同じ＝バランス性）。Tor⁡n(M,N)≅Tor⁡n(N,M)\operatorname{Tor}_n(M,N)\cong\operatorname{Tor}_n(N,M)。 この機械が、次章以降で可換環論の深い量（深さ・大域次元）を測る物差しになります。

注意 つまずきポイント

  • 導来関手は「分解に施す」——元の加群に直接施すのではない。 MM を complex P∙P_\bullet に置き換え、F(P∙)F(P_\bullet) の ホモロジーを取る。L0F=FL_0F=F で元は復元される。
  • well-defined 性は鎖ホモトピー不変性が根拠。 分解が一意でないのに答えが定まるのは、第7・8章の伏線の回収。
  • Tor はねじれ、Ext は拡大。 Tor⁡1(Z/m,Z/n)=Z/gcd⁡\operatorname{Tor}_1(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)=\mathbb Z/\gcd、 Ext⁡1(C,A)=\operatorname{Ext}^1(C,A)= 拡大の分類。名前の由来（torsion / extension）がそのまま意味。
  • 番号の向き：Tor は下付き（ホモロジー的）、Ext は上付き（コホモロジー的）。 ⊗\otimes は共変で左導来（LnL_n）、 Hom⁡(−,N)\operatorname{Hom}(-,N) は反変で右導来（RnR^n）。

この章のまとめ

  • 導来関手＝「分解して・関手を施して・ホモロジーを取る」一般機械。完全性の破れを測り、L0F=FL_0F=F。 分解に依らない（鎖ホモトピー不変性）ので MM の不変量になる。
  • Tor（⊗\otimes の左導来）はねじれを検出：Tor⁡1Z(Z/m,Z/n)=Z/gcd⁡(m,n)\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(\mathbb Z/m,\mathbb Z/n)=\mathbb Z/\gcd(m,n)。 Tor⁡≥1=0\operatorname{Tor}_{\ge1}=0 ⟺ 平坦。Ext（Hom⁡\operatorname{Hom} の右導来）は拡大を分類：Ext⁡1(C,A)=\operatorname{Ext}^1(C,A)= 拡大の同値類。
  • 短完全系列は Tor・Ext を継いで長完全系列に伸びきる。両変数で対称（バランス）。

Ext・Tor という物差しが手に入りました。次章はこれを可換環論に差し戻し、正則列と深さ、 そしてそれを Ext で測るコーエン–マコーレー環——代数と幾何の「太さ」を測る概念へ進みます。