第7章ローラン展開と特異点

「壊れている点」のまわりを、どう展開するか

テイラー展開（前章）は、正則な点のまわりの展開でした。でも複素解析の面白さの多くは、関数が正則でなくなる点（特異点）のまわりにあります。 $\frac1z$ の原点、 $\frac{1}{z^2}$ 、 $e^{1/z}$ ——これらを特異点のまわりで展開するには、 $(z-z_0)$ の負のべきまで許した級数が要ります。それがローラン展開です。

ローラン展開の負べき部分（主要部）が、特異点の“性格”を教えてくれます。負べきが無ければ実は正則（除去可能）、有限個なら極、無限個なら真性特異点——たった3種類に分類されます。そして次章の主役留数は、ローラン展開の $\frac1{z-z_0}$ の係数、ただ一つの数。特異点の理論は、複素積分を計算する留数定理（第8章）への直接の準備です。下の位相ポートレートで、零点と極を「見て」区別しながら進みましょう。

特異点のまわりの展開＝ローラン級数。負べきの個数で特異点を3分類（除去可能・極・真性）。留数は $1/(z-z_0)$ の係数。

ローラン展開

定理ローランの定理

$f$ が円環 $r<|z-z_0|<R$ で正則なら、その円環で $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n,\qquad c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw$ と一意に展開できる（ $\gamma$ は円環内で $z_0$ を一周する曲線）。負べき部分 $\sum_{n<0}c_n(z-z_0)^n$ を主要部という。

証明

（要点。） $z$ を含む小円環を、外側の円 $C_R$ と内側の円 $C_r$ で囲む。コーシーの積分公式を円環に適用すると $f(z)=\frac1{2\pi i}\big(\oint_{C_R}-\oint_{C_r}\big)\frac{f(w)}{w-z}dw$ 。 $C_R$ 上では $\frac1{w-z}$ を $\frac{z-z_0}{w-z_0}$ の等比級数に開いて 正べき（テイラー同様）、 $C_r$ 上では $\frac{w-z_0}{z-z_0}$ の等比級数に開いて負べきを得る。一意性は係数の積分表示から。∎

テイラー展開の証明（前章）を「外側の円」と「内側の円」の両方で行い、外から正べき・内から負べきが出る。テイラーの自然な拡張です。この負べき部分（主要部）が、特異点を分類します。

孤立特異点の3分類

定義孤立特異点と3分類

$z_0$ が $f$ の孤立特異点（ $0<|z-z_0|<\varepsilon$ で正則だが $z_0$ で正則でない）のとき、 $z_0$ まわりのローラン展開の主要部（負べき）で分類する：

除去可能特異点：主要部が無い（負べきの係数が全部 $0$ ）。
$m$ 位の極：主要部が有限個（ $c_{-m}\ne0$ 、 $c_{-m-1}=c_{-m-2}=\cdots=0$ ）。
真性特異点：主要部が無限個（負べきが無限に続く）。

例 3種類の例

$\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\cdots$ ： $z=0$ は除去可能（主要部なし、 $f(0)=1$ と定めれば正則）。
$\frac{1}{z^3}$ ： $z=0$ は** $3$ 位の極**（主要部 $\frac1{z^3}$ のみ）。 $\frac{e^z}{z^2}$ は $2$ 位の極。
$e^{1/z}=\sum_{n\ge0}\frac1{n!z^n}=1+\frac1z+\frac1{2z^2}+\cdots$ ： $z=0$ は真性特異点（負べきが無限）。

下の位相ポートレートで確かめてください。零点（色相環が一周）と極（逆回り・明縞が密集して発散）、そして $e^{1/z}$ の真性特異点（原点近傍で色が激しく乱れる）が、視覚的に区別できます。 $m$ 位の極では色相環が $m$ 周します。

f(z) =

各分類の特徴づけ

3分類は、 $f$ の振る舞いでも特徴づけられます。これが実用的です。

定理リーマンの除去可能特異点定理

孤立特異点 $z_0$ について： $z_0$ が除去可能 $\iff$ $z_0$ の近傍で $f$ が有界。

証明

除去可能なら正則に延びるので有界。逆に、近傍で $|f|\le M$ とする。負べき係数 $c_{-n}$ （ $n\ge1$ ）を小円 $|w-z_0|=\rho$ で評価すると $|c_{-n}|=\left|\frac1{2\pi i}\oint f(w)(w-z_0)^{n-1}dw\right|\le M\rho^{n-1}\cdot\rho=M\rho^n\to0$ （ $\rho\to0$ ）。ゆえ負べきは全部 $0$ 、除去可能。∎

「有界なら除去可能」——特異点で暴れなければ、実は特異点でなかった。極と真性特異点は、それぞれ次のように振る舞います。

命題極と真性特異点の振る舞い

$z_0$ が** $m$ 位の極** $\iff |f(z)|\to\infty$ （ $z\to z_0$ ）で、 $(z-z_0)^mf(z)$ が除去可能（ $0$ でない極限をもつ）。 $\iff \frac1f$ が $z_0$ で $m$ 位の零点。
$z_0$ が真性特異点 $\iff$ 極限 $\lim_{z\to z_0}f(z)$ が（ $\infty$ も込めて）存在しない。

極では「 $\infty$ に発散」、真性特異点では「極限が存在しない（暴れる）」。真性特異点の暴れ方は、次の驚くべき定理が精密に述べます。

定理カゾラーティ–ワイエルシュトラスの定理

$z_0$ が $f$ の真性特異点なら、 $z_0$ の任意の近傍での $f$ の像は $\mathbb C$ で稠密（どんな複素数にもいくらでも近い値をとる）。

証明

稠密でないと仮定すると、ある $w_0$ と $\delta>0$ で近傍上 $|f(z)-w_0|\ge\delta$ 。すると $g=\frac1{f-w_0}$ は近傍で有界（ $\le1/\delta$ ）ゆえ $z_0$ が除去可能（リーマン）。 $g$ が正則に延び、 $f=w_0+\frac1g$ は $z_0$ で除去可能か極になり、真性特異点に矛盾。∎

「真性特異点のいくらでも近くで、 $f$ はあらゆる複素数に近い値をとる」。 $e^{1/z}$ は原点のどんな近くでも、（ $0$ を除く）ほぼすべての値を実際に取ります。さらに強いピカールの定理は「高々1つの例外を除き、あらゆる値を無限回とる」と述べます。真性特異点は、複素関数が最も激しく暴れる場所なのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ローラン展開は円環で、負べきを許す。 テイラーは円板（負べきなし）。主要部（負べき）が特異点の分類を担う。
除去可能 ⇔ 有界（リーマン）。 $\frac{\sin z}z$ の $0$ は除去可能。「特異点だが有界」なら実は正則に延ばせる。
極 ⇔ $|f|\to\infty$ 、真性 ⇔ 極限が存在しない。 極は素直に発散、真性は暴れる（カゾラーティ–ワイエルシュトラス：像が稠密）。
展開の中心と円環に注意。 同じ関数でも、中心や円環（どの特異点の外か）でローラン展開は変わる。 $\frac1{z(z-1)}$ は $0<|z|<1$ と $|z|>1$ で別の展開。

この章のまとめ

ローラン展開：円環上で $f=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n$ 。負べき（主要部）の個数で孤立特異点を3分類：除去可能（負べきなし）・ $m$ 位の極（有限個）・真性特異点（無限個）。
振る舞いによる特徴づけ：除去可能 ⇔ 有界（リーマン）、極 ⇔ $|f|\to\infty$ 、真性 ⇔ 極限なし。
カゾラーティ–ワイエルシュトラス：真性特異点の近傍で像は稠密（ $e^{1/z}$ はあらゆる値に近づく）。ピカールはさらに強い。

特異点の理論が整いました。次章は、ローラン展開のたった一つの係数——留数と、複素積分を計算する留数定理を扱います。

第7章 ローラン展開と特異点