第6章テイラー展開と一致の定理

正則関数は「異様に硬い」

前章で「正則 ⇒ 無限回微分可能」を見ました。この章はさらに進んで、正則関数は必ずべき級数（テイラー級数）に展開できる——つまり正則＝解析的を証明します。微積分第6章で、実解析では「無限回微分できてもテイラー級数が元に戻らない」病的な例（ $e^{-1/x^2}$ ）があったのを思い出してください。複素では、そんな例は 存在しません。正則ならいつでも、局所的にべき級数に一致する。

この解析性から、正則関数の恐るべき剛性が導かれます。零点は孤立し、関数のごく一部の情報が全体を決めてしまう （一致の定理）。「ある小さな円板での値」や「実軸上での値」だけで、関数が全領域で一意に決まる。実関数の自由さとは対照的な、この硬さこそ正則関数の魔法です。 $e^z$ の性質が実の $e^x$ から一意に延びるのも、第12章の解析接続も、すべてこの剛性から来ます。

正則＝解析的（べき級数展開可能）。零点は孤立し、一部の値が全体を決める（一致の定理）——正則関数は異様に硬い。

テイラー展開

定理テイラーの定理（正則⇒解析的）

$f$ が $|z-z_0|<R$ で正則なら、その円板で $f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n,\qquad c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw$ とべき級数展開できる（収束半径 $\ge R$ ）。

証明

$|z-z_0|<r<R$ とし、半径 $r$ の円 $\gamma$ でコーシーの積分公式を使う。核 $\frac1{w-z}$ を等比級数に展開： $\frac1{w-z}=\frac1{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac1{w-z_0}\cdot\frac1{1-\frac{z-z_0}{w-z_0}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^{n+1}}$ （ $\gamma$ 上 $\left|\frac{z-z_0}{w-z_0}\right|=\frac{|z-z_0|}r<1$ ゆえ一様収束）。コーシーの公式 $f(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(w)}{w-z}dw$ に代入し、一様収束ゆえ項別積分（微積分第8章）すると $f(z)=\sum_n\Big(\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw\Big)(z-z_0)^n$ 。∎

証明の核心は「コーシーの核 $\frac1{w-z}$ を等比級数に開く」こと。前章の積分公式が、そのままべき級数を生みます。だから正則関数はどこでもべき級数。収束半径には明快な意味があります。

命題収束半径＝最も近い特異点までの距離

$z_0$ でのテイラー級数の収束半径は、 $f$ が正則でなくなる最も近い点（特異点）までの距離に等しい。

例： $\frac1{1+z^2}$ を $0$ で展開すると収束半径 $1$ ——実軸上では何も起こらないのに $1$ で止まるのは、 $\pm i$ に特異点（極）があるから。実解析で不可解だった収束半径が、複素平面の特異点で完全に説明される。微積分で謎だったことが、複素にすると見える好例です。

零点の孤立性

解析性から、零点の構造が決まります。

定理零点の孤立性

$f$ が領域 $D$ で正則、 $f\not\equiv0$ とする。 $f(z_0)=0$ なら、ある $m\ge1$ （零点の位数）で $f(z)=(z-z_0)^m g(z)$ 、 $g(z_0)\ne0$ 、 $g$ 正則。ゆえ零点 $z_0$ は孤立（近傍に他の零点なし）。

証明

テイラー展開 $f(z)=\sum_{n\ge0}c_n(z-z_0)^n$ で、 $f\not\equiv0$ なら $c_n\ne0$ となる最小の $n=m$ がある（全部 $0$ なら $f\equiv0$ ）。 $f(z)=(z-z_0)^m\sum_{k\ge0}c_{m+k}(z-z_0)^k=(z-z_0)^m g(z)$ 、 $g(z_0)=c_m\ne0$ 。 $g$ 連続ゆえ $z_0$ の近傍で $g\ne0$ 、その近傍で $f$ は $z_0$ 以外に零点をもたない。∎

「零点は孤立する（ $f\not\equiv0$ なら）」——正則関数の零点は、点々と離れて存在するしかない。実関数では零点が区間を埋めることもあるのに、複素では不可能。この孤立性が、次の一致の定理を生みます。

一致の定理

正則関数の剛性の頂点です。

定理一致の定理

$f,g$ が連結領域 $D$ で正則とする。 $D$ 内に集積点をもつ集合（例：数列 $z_k\to z_*\in D$ 、または小さな円板・小区間）で $f=g$ ならば、 $D$ 全体で $f=g$ 。

証明

$h=f-g$ とおく。 $h$ の零点集合 $Z$ は集積点 $z_*\in D$ をもつ。 $h(z_*)=0$ （連続）で、もし $h\not\equiv0$ （ $z_*$ の近くで）なら零点は孤立するはず——だが $z_*$ に零点が集積するので矛盾。ゆえ $z_*$ の近傍で $h\equiv0$ 。「 $h\equiv0$ となる点の集合」は開かつ閉（開：近傍で $\equiv0$ 、閉：連続）で空でないので、連結性より $D$ 全体。よって $h\equiv0$ 、 $f=g$ 。∎

証明は「零点の孤立性」と「連結なら開かつ閉集合は全体」（集合位相の連結性）の合わせ技。含意は劇的です。

系一致の定理の威力

実軸上で一致すれば全平面で一致：実の $e^x,\sin x$ を複素へ延ばす方法は一意（実軸で決まれば複素全体で決まる）。
関数等式の継承： $\sin^2x+\cos^2x=1$ は実軸で成り立つ（集積点をもつ）ので、複素全体で $\sin^2z+\cos^2z=1$ 。実の恒等式が自動的に複素へ延びる。
解析接続の一意性：関数を領域外へ正則に延ばす方法は、あれば一意。

「実軸上のわずかな情報が、複素平面全体を決める」——これが正則関数の硬さです。 $\Gamma$ 関数やゼータ関数を複素全体へ延ばす（解析接続）とき、延ばし方が一意なのはこの定理のおかげ。数論・物理で決定的に使われます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

正則＝解析的（複素では一致）。 実解析の $e^{-1/x^2}$ のような反例は複素に無い。正則ならどこでもテイラー展開可能。
収束半径＝最も近い特異点まで。 $\frac1{1+z^2}$ を $0$ で展開すると半径 $1$ （ $\pm i$ の極）。実軸だけ見ても分からない。
一致の定理には集積点が要る。 「孤立した点で一致」では不十分。集積点をもつ集合（区間・円板・収束列）で一致すれば全体で一致。
零点は孤立（ $f\not\equiv0$ ）。 零点が集積したら $f\equiv0$ 。実関数と決定的に違う剛性。

この章のまとめ

正則 ⇒ テイラー展開可能（解析的）：コーシーの核を等比級数に開いて得る。収束半径＝最も近い特異点までの距離（実の収束半径の謎が複素で解ける）。
解析性から零点は孤立（位数 $m$ 、 $f=(z-z_0)^mg$ ）。実関数にない剛性。
一致の定理：連結領域で、集積点をもつ集合上で一致すれば全体で一致。実軸の情報が複素全体を決め、関数等式が継承され、解析接続が一意になる。

次章は、特異点のまわりの展開——ローラン展開と、特異点の分類（除去可能・極・真性）を可視化しながら扱います。

第6章 テイラー展開と一致の定理