⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第6章 テイラー展開と一致の定理

正則関数は「異様に硬い」

前章で「正則 ⇒ 無限回微分可能」を見ました。この章はさらに進んで、正則関数は必ずべき級数（テイラー級数）に 展開できる——つまり正則 ＝ 解析的を証明します。微積分第6章で、実解析では「無限回微分できても テイラー級数が元に戻らない」病的な例（e−1/x2e^{-1/x^2}）があったのを思い出してください。複素では、そんな例は 存在しません。正則ならいつでも、局所的にべき級数に一致する。

この解析性から、正則関数の恐るべき剛性が導かれます。零点は孤立し、関数のごく一部の情報が全体を決めてしまう （一致の定理）。「ある小さな円板での値」や「実軸上での値」だけで、関数が全領域で一意に決まる。実関数の 自由さとは対照的な、この硬さこそ正則関数の魔法です。eze^z の性質が実の exe^x から一意に延びるのも、 第12章の解析接続も、すべてこの剛性から来ます。

正則 ＝ 解析的（べき級数展開可能）。零点は孤立し、一部の値が全体を決める（一致の定理）——正則関数は異様に硬い。

テイラー展開

定理 テイラーの定理（正則⇒解析的）

ff が ∣z−z0∣<R|z-z_0|<R で正則なら、その円板で f(z)=∑n=0∞cn(z−z0)n,cn=f(n)(z0)n!=12πi∮γf(w)(w−z0)n+1 dwf(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n,\qquad c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\,dw とべき級数展開できる（収束半径 ≥R\ge R）。

証明

∣z−z0∣<r<R|z-z_0|<r<R とし、半径 rr の円 γ\gamma でコーシーの積分公式を使う。核 1w−z\frac1{w-z} を等比級数に展開： 1w−z=1(w−z0)−(z−z0)=1w−z0⋅11−z−z0w−z0=∑n=0∞(z−z0)n(w−z0)n+1\frac1{w-z}=\frac1{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac1{w-z_0}\cdot\frac1{1-\frac{z-z_0}{w-z_0}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^{n+1}} （γ\gamma 上 ∣z−z0w−z0∣=∣z−z0∣r<1\left|\frac{z-z_0}{w-z_0}\right|=\frac{|z-z_0|}r<1 ゆえ一様収束）。コーシーの公式 f(z)=12πi∮γf(w)w−zdwf(z)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(w)}{w-z}dw に代入し、 一様収束ゆえ項別積分（微積分第8章）すると f(z)=∑n(12πi∮γf(w)(w−z0)n+1dw)(z−z0)nf(z)=\sum_n\Big(\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}dw\Big)(z-z_0)^n。∎

証明の核心は「コーシーの核 1w−z\frac1{w-z} を等比級数に開く」こと。前章の積分公式が、そのまま べき級数を生みます。だから正則関数はどこでもべき級数。収束半径には明快な意味があります。

命題 収束半径＝最も近い特異点までの距離

z0z_0 でのテイラー級数の収束半径は、ff が正則でなくなる最も近い点（特異点）までの距離に等しい。

例：11+z2\frac1{1+z^2} を 00 で展開すると収束半径 11——実軸上では何も起こらないのに 11 で止まるのは、±i\pm i に 特異点（極）があるから。実解析で不可解だった収束半径が、複素平面の特異点で完全に説明される。 微積分で謎だったことが、複素にすると見える好例です。

零点の孤立性

解析性から、零点の構造が決まります。

定理 零点の孤立性

ff が領域 DD で正則、f≢0f\not\equiv0 とする。f(z0)=0f(z_0)=0 なら、ある m≥1m\ge1（零点の位数）で f(z)=(z−z0)mg(z)f(z)=(z-z_0)^m g(z)、g(z0)≠0g(z_0)\ne0、gg 正則。ゆえ零点 z0z_0 は孤立（近傍に他の零点なし）。

証明

テイラー展開 f(z)=∑n≥0cn(z−z0)nf(z)=\sum_{n\ge0}c_n(z-z_0)^n で、f≢0f\not\equiv0 なら cn≠0c_n\ne0 となる最小の n=mn=m がある（全部 00 なら f≡0f\equiv0）。f(z)=(z−z0)m∑k≥0cm+k(z−z0)k=(z−z0)mg(z)f(z)=(z-z_0)^m\sum_{k\ge0}c_{m+k}(z-z_0)^k=(z-z_0)^m g(z)、g(z0)=cm≠0g(z_0)=c_m\ne0。gg 連続ゆえ z0z_0 の近傍で g≠0g\ne0、 その近傍で ff は z0z_0 以外に零点をもたない。∎

「零点は孤立する（f≢0f\not\equiv0 なら）」——正則関数の零点は、点々と離れて存在するしかない。実関数では零点が 区間を埋めることもあるのに、複素では不可能。この孤立性が、次の一致の定理を生みます。

一致の定理

正則関数の剛性の頂点です。

定理 一致の定理

f,gf,g が連結領域 DD で正則とする。DD 内に集積点をもつ集合（例：数列 zk→z∗∈Dz_k\to z_*\in D、または小さな円板・小区間）で f=gf=g ならば、DD 全体で f=gf=g。

証明

h=f−gh=f-g とおく。hh の零点集合 ZZ は集積点 z∗∈Dz_*\in D をもつ。h(z∗)=0h(z_*)=0（連続）で、もし h≢0h\not\equiv0（z∗z_* の近くで）なら 零点は孤立するはず——だが z∗z_* に零点が集積するので矛盾。ゆえ z∗z_* の近傍で h≡0h\equiv0。「h≡0h\equiv0 となる点の集合」は 開かつ閉（開：近傍で ≡0\equiv0、閉：連続）で空でないので、連結性より DD 全体。よって h≡0h\equiv0、f=gf=g。∎

証明は「零点の孤立性」と「連結なら開かつ閉集合は全体」（集合位相の連結性）の合わせ技。含意は劇的です。

系 一致の定理の威力

  • 実軸上で一致すれば全平面で一致：実の ex,sin⁡xe^x,\sin x を複素へ延ばす方法は一意（実軸で決まれば複素全体で決まる）。
  • 関数等式の継承：sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 は実軸で成り立つ（集積点をもつ）ので、複素全体で sin⁡2z+cos⁡2z=1\sin^2z+\cos^2z=1。実の恒等式が自動的に複素へ延びる。
  • 解析接続の一意性：関数を領域外へ正則に延ばす方法は、あれば一意。

「実軸上のわずかな情報が、複素平面全体を決める」——これが正則関数の硬さです。Γ\Gamma 関数やゼータ関数を 複素全体へ延ばす（解析接続）とき、延ばし方が一意なのはこの定理のおかげ。数論・物理で決定的に使われます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 正則 ＝ 解析的（複素では一致）。 実解析の e−1/x2e^{-1/x^2} のような反例は複素に無い。正則ならどこでもテイラー展開可能。
  • 収束半径＝最も近い特異点まで。 11+z2\frac1{1+z^2} を 00 で展開すると半径 11（±i\pm i の極）。実軸だけ見ても分からない。
  • 一致の定理には集積点が要る。 「孤立した点で一致」では不十分。集積点をもつ集合（区間・円板・収束列）で一致すれば全体で一致。
  • 零点は孤立（f≢0f\not\equiv0）。 零点が集積したら f≡0f\equiv0。実関数と決定的に違う剛性。

この章のまとめ

  • 正則 ⇒ テイラー展開可能（解析的）：コーシーの核を等比級数に開いて得る。収束半径＝最も近い特異点までの距離（実の収束半径の謎が複素で解ける）。
  • 解析性から零点は孤立（位数 mm、f=(z−z0)mgf=(z-z_0)^mg）。実関数にない剛性。
  • 一致の定理：連結領域で、集積点をもつ集合上で一致すれば全体で一致。実軸の情報が複素全体を決め、関数等式が継承され、解析接続が一意になる。

次章は、特異点のまわりの展開——ローラン展開と、特異点の分類（除去可能・極・真性）を可視化しながら扱います。