第8章留数定理

積分は「留数の合計」だけで決まる

第4章のコーシーの積分定理は「穴が無ければ閉曲線積分は $0$ 」でした。では、囲んだ中に特異点（穴）があると、積分にはどれだけ残るのか？答えは驚くほど単純です——各特異点の“留数”を合計して $2\pi i$ 倍するだけ。

$\oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum(\text{囲まれた特異点の留数}).$

留数とは、ローラン展開（前章）の $\frac1{z-z_0}$ の係数 $c_{-1}$ 、たった一つの数です。無限に複雑に見える積分が、各特異点でのこの一つの数の足し算に還元される。これが留数定理で、複素解析で最も実用的な定理です。次章では、これを使って実数の難しい定積分—— $\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^4}$ のような、実解析では手強いもの——を機械的に計算します。この章はその計算エンジンを組み立てます。

留数定理： $\oint_\gamma f\,dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}$ 。留数はローラン展開の $1/(z-z_0)$ の係数 $c_{-1}$ ただ一つ。

留数

定義留数

$z_0$ を $f$ の孤立特異点とし、 $z_0$ まわりのローラン展開を $f(z)=\sum_n c_n(z-z_0)^n$ とする。係数 $c_{-1}$ を $f$ の $z_0$ での留数 $\operatorname{Res}_{z_0}f$ という。

なぜ $c_{-1}$ だけが特別なのか。ローラン展開の各項 $c_n(z-z_0)^n$ を $z_0$ を囲む円で積分すると、 $\oint(z-z_0)^n dz=\begin{cases}2\pi i&(n=-1)\\0&(n\ne-1)\end{cases}$ —— $n=-1$ の項だけが積分に生き残るからです（第4章の $\oint\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i$ ）。他の項は原始関数 $\frac{(z-z_0)^{n+1}}{n+1}$ をもち閉曲線で消える。留数は「積分に残る唯一の情報」なのです。これを一般化したのが留数定理です。

留数定理

定理留数定理

$f$ が単連結領域 $D$ 内で、有限個の孤立特異点 $z_1,\dots,z_k$ を除いて正則とする。 $\gamma$ を $D$ 内でこれらを正の向きに一周する単純閉曲線とすると $\oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{j=1}^k\operatorname{Res}_{z_j}f.$

証明

各 $z_j$ を小円 $C_j$ （互いに交わらない）で囲む。 $\gamma$ と $C_1,\dots,C_k$ で囲まれた領域では $f$ が正則なので、コーシーの積分定理（第4章）より $\oint_\gamma f=\sum_j\oint_{C_j}f$ 。各 $C_j$ 上でローラン展開を項別積分すると、 $c_{-1}^{(j)}$ の項だけが $2\pi i$ を残し他は $0$ 、すなわち $\oint_{C_j}f=2\pi i\,c_{-1}^{(j)}=2\pi i\operatorname{Res}_{z_j}f$ 。合計して結論。∎

証明は「 $\gamma$ を各特異点を囲む小円に分解し（コーシーの定理）、各小円で $c_{-1}$ だけが残る」。第4章・第7章がそのまま結実します。あとは留数を計算する方法があれば、実戦で使えます。

極における留数の計算

真性特異点では留数を求めるのにローラン展開が要りますが、極なら公式で機械的に計算できます。

定理極での留数公式

$1$ 位の極： $\operatorname{Res}_{z_0}f=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$ 。
$f=\dfrac{g}{h}$ 、 $g(z_0)\ne0$ 、 $h$ が $z_0$ で $1$ 位の零点（ $h(z_0)=0,h'(z_0)\ne0$ ）： $\operatorname{Res}_{z_0}\dfrac gh=\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ 。
$m$ 位の極： $\operatorname{Res}_{z_0}f=\dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^mf(z)\big]$ 。

証明

$m$ 位の極なら $(z-z_0)^mf(z)=\sum_{k\ge0}c_{k-m}(z-z_0)^k$ （正則）。この $m-1$ 階微分の $z\to z_0$ 極限は $(m-1)!\,c_{-1}$ で、 $(m-1)!$ で割ると $c_{-1}=\operatorname{Res}$ 。 $m=1$ が第1式。 $g/h$ の式は $1$ 位の極で $\lim(z-z_0)\frac{g}{h}=\frac{g(z_0)}{\lim\frac{h(z)-h(z_0)}{z-z_0}}=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ 。∎

とくに $\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ は絶大に便利です。 $\dfrac1{h}$ 型（ $h$ の単純零点が極）の留数が、分母を微分するだけで出ます。

例留数の計算例

$f=\dfrac{1}{z^2+1}=\dfrac1{(z-i)(z+i)}$ ： $z=i$ は $1$ 位の極、 $\operatorname{Res}_i f=\dfrac1{(z+i)}\Big|_{z=i}=\dfrac1{2i}$ 。（公式 $\frac{g}{h'}=\frac1{2z}\big|_i=\frac1{2i}$ でも同じ。）
$f=\dfrac{e^z}{z^2}$ ： $z=0$ は $2$ 位の極、 $\operatorname{Res}_0 f=\dfrac1{1!}\dfrac{d}{dz}\big[z^2\cdot\frac{e^z}{z^2}\big]_{z=0}=\dfrac{d}{dz}e^z\big|_0=1$ 。
$f=\cot z=\dfrac{\cos z}{\sin z}$ ： $z=n\pi$ は $1$ 位の極、 $\operatorname{Res}=\dfrac{\cos n\pi}{\cos n\pi}=1$ （ $\frac{g}{h'}$ 公式）。

$1$ 位の極なら「 $(z-z_0)$ を掛けて代入」または「分母を微分」、 $m$ 位なら「 $(z-z_0)^m$ を掛けて $m-1$ 回微分」。このレシピで、次章の実積分がベルトコンベアのように計算できます。

つまずきポイント

注意よくある誤解

留数は $c_{-1}$ （ $1/(z-z_0)$ の係数）だけ。 他のローラン係数は積分に効かない。 $\oint(z-z_0)^n dz$ が $n=-1$ でのみ $2\pi i$ 。
留数定理は「囲んだ」特異点だけ。 $\gamma$ の内部にある特異点の留数だけ足す。外の特異点は無関係。向き（正の向き＝反時計回り）に注意。
極の位数に応じた公式を使う。 $m$ 位なら $(z-z_0)^m$ を掛けて $m-1$ 回微分。位数を間違えると誤る。 $m$ を取りすぎても（余分に微分して）正しい極限は出るが手間。
真性特異点の留数は公式で出ない。 ローラン展開の $c_{-1}$ を直接読む（ $e^{1/z}$ の $\operatorname{Res}_0=1$ は $\frac1{1!z}$ の係数）。

この章のまとめ

留数 $\operatorname{Res}_{z_0}f=c_{-1}$ （ローラン展開の $1/(z-z_0)$ の係数）。 $\oint(z-z_0)^n dz$ が $n=-1$ でのみ $2\pi i$ を残すので、積分に効く唯一の係数。
留数定理 $\oint_\gamma f=2\pi i\sum\operatorname{Res}$ 。証明はコーシーの定理で各特異点の小円に分解し、 $c_{-1}$ だけが残る。
極での留数は公式で計算： $1$ 位は $\lim(z-z_0)f$ または $\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$ 、 $m$ 位は $\frac1{(m-1)!}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf]$ 。

次章は、この留数定理の華麗な応用——実数の定積分を複素積分で計算します。

第8章 留数定理