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第10章 正則直線束とチャーン類

第1章で「コンパクト複素多様体には正則関数が定数しかない」と見ました。関数が足りない。ではどうやって幾何を 記述するのか。答えが正則直線束——各点に複素直線（11 次元空間）を貼り付けた束——の切断です。切断は 「ねじれた関数」で、束のねじれ具合しだいでたくさん存在できる。そのねじれを測る位相不変量が第一チャーン類 です。直線束は、複素幾何と代数幾何を結ぶ主役——射影空間への埋め込み（第11章）も、 消滅定理も、すべて直線束の言葉で語られます。

正則直線束：ねじれた ℂ

各点に複素直線を貼り、貼り合わせを正則関数で行ったものが正則直線束です。

定義 正則直線束と切断

複素多様体 XX の正則直線束 LL とは、各点 xx に複素 11 次元空間 LxL_x を貼り付けた束で、局所的には Uα×CU_\alpha\times\mathbb C に見え、重なりでの貼り合わせ gαβ ⁣:Uα∩Uβ→C×g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to\mathbb C^\times （変換関数）が正則かつ非零なもの。LL の切断 ss とは、各点 xx に s(x)∈Lxs(x)\in L_x を 正則に対応させるもの（局所的には正則関数だが、貼り合わせで gαβg_{\alpha\beta} 倍される「ねじれた関数」）。

自明束 OX=X×C\mathcal O_X=X\times\mathbb C（ねじれなし）の切断は普通の正則関数——コンパクトだと定数だけ。ところが ねじれた直線束 LL の切断は、gαβg_{\alpha\beta} のねじれを打ち消すように振る舞えるので、非自明に存在できる。 たとえば CPn\mathbb{CP}^n 上の直線束 O(d)\mathcal O(d) の大域切断は、ちょうど次数 dd の斉次多項式 （代数幾何）。関数が足りない複素多様体で、直線束の切断が「使える関数の代わり」を 供給するのです。

因子との対応：零点でねじれを記述する

直線束は、切断の零点——複素余次元 11 の部分多様体（因子）——と表裏一体です。

定義 因子と直線束

複素余次元 11 の部分多様体の形式的な整数結合 D=∑aiYiD=\sum a_i Y_i を因子という。切断 ss の零点集合が 因子 div(s)\mathrm{div}(s) を定め、逆に因子 DD から直線束 O(D)\mathcal O(D) が作れる。「直線束 ＝ 因子（切断の零点で 記述）」という辞書が成り立つ。

これは強力な辞書です。抽象的な「ねじれた束」が、具体的な「部分多様体（超曲面）」で捉えられる。リーマン面 （複素1次元）なら因子は点の整数結合で、「どの点に何位の零点・極を持つか」を指定するデータ。直線束の 切断を数える問題が、「指定した零点・極を持つ有理型関数を数える」問題になり、これがリーマン–ロッホの定理 （切断の次元を位相データで数える）へつながります。関数論・幾何・代数が、直線束を介して一つの言葉になります。

第一チャーン類：ねじれを測る不変量

直線束が「どれだけねじれているか」を測る位相不変量が、第一チャーン類です。

定義 第一チャーン類

正則直線束 LL にエルミート計量を入れ、その曲率 22 形式 Θ\Theta（接続の曲率、(1,1)(1,1) 形式）から c1(L)=[i2πΘ]∈H2(X,R)c_1(L)=\Big[\frac{i}{2\pi}\Theta\Big]\in H^2(X,\mathbb R) を第一チャーン類という。計量の選び方によらず LL だけで決まる位相不変量で、実際には H2(X,Z)H^2(X,\mathbb Z) に値を持つ（整数類）。

第一チャーン類は、直線束のねじれを「H2H^2 のコホモロジー類」として記録します。曲率から作るので微分幾何的 ですが、計量によらず位相的（整数類）——ここにガウス–ボンネや ポアンカレ–ホップと同じ「局所的な曲率の積分が大域的な整数を与える」構図があります。 因子との対応では、c1(O(D))=[D]c_1(\mathcal O(D))=[D]（因子のポアンカレ双対類）。リーマン面上では ∫Σc1(L)=deg⁡L\int_\Sigma c_1(L)=\deg L（次数）——切断の零点の個数（符号込み）に等しく、直線束を分類する 基本的な整数になります。

注意 ケーラー類もチャーン類

第9章のケーラー類 [ω][\omega] は、しばしば直線束の第一チャーン類として現れる。CPn\mathbb{CP}^n のフビニ–スタディ 形式 ωFS\omega_{FS} は c1(O(1))c_1(\mathcal O(1))（の定数倍）——正のチャーン類を持つ直線束から来る。この 「c1(L)>0c_1(L)>0（正の直線束）」という条件が、次章の小平の定理の主役になる。ケーラー幾何（ω\omega）と直線束 （c1c_1）が、チャーン類で結ばれる。

注意 つまずきポイント

  • 切断は「ねじれた関数」。自明束なら普通の関数（定数のみ）、ねじれた束なら非自明に存在。関数が足りない 複素幾何で、束の切断が代わりを務める。
  • 直線束 ⟷ 因子 ⟷ c1c_1 の三つ組。束のねじれを、切断の零点（因子）で幾何的に、H2H^2 の類（チャーン類）で 位相的に捉える。同じ情報の三つの顔。
  • c1c_1 は計量によらない。曲率（計量依存）から作るのに、結果は位相不変量（整数類）。ガウス–ボンネ型の 「曲率の積分＝整数」。

この章のまとめ

  • 正則直線束 LL＝各点に複素直線を貼り、正則な変換関数 gαβg_{\alpha\beta} で貼り合わせた束。その切断は 「ねじれた関数」で、自明束（定数のみ）と違い非自明に存在できる（CPn\mathbb{CP}^n の O(d)\mathcal O(d) の切断 ＝次数 dd の斉次多項式）。
  • 因子との辞書：切断の零点が因子 DD、因子から束 O(D)\mathcal O(D)。リーマン面では点の整数結合で、 リーマン–ロッホへ。
  • 第一チャーン類 c1(L)∈H2(X,Z)c_1(L)\in H^2(X,\mathbb Z)＝束のねじれの位相不変量（曲率の積分、計量によらず）。 リーマン面では次数 deg⁡L=∫c1(L)\deg L=\int c_1(L)。
  • 直線束・因子・チャーン類は同じ情報の三つの顔。ケーラー類も c1c_1 として現れ（c1(O(1))>0c_1(\mathcal O(1))>0）、 次章の主役に。

次章は、この直線束の言葉で複素幾何の到達点——小平の消滅定理と埋め込み定理——を述べます。「正の直線束」を 持つコンパクトケーラー多様体が、実は CPN\mathbb{CP}^N の中の射影代数多様体である、という深い定理です。