⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第9章 ホッジ理論の帰結

前章のホッジ分解 Hk=⨁p+q=kHp,qH^k=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q} は、それ自体が到達点であると同時に、豊かな帰結の源です。 この章では、ホッジ・ダイヤモンドの持つ二つの対称性を整理し、それらがベッチ数（位相不変量）に課す強い 制約を読み取ります。さらに、ケーラー形式 ω\omega を掛ける操作が生む隠れた対称性——ハード・レフシェッツの 定理——を見ます。「複素構造・ケーラー計量を持つ」というだけで、位相にこれほど厳しい縛りがかかる。それが 複素幾何の力です。

ホッジ・ダイヤモンドの二つの対称

ホッジ数 hp,qh^{p,q} を菱形（p+q=kp+q=k を段、p−qp-q を横）に並べたホッジ・ダイヤモンドには、二つの反射対称が あります。装置で「対称性を強調」しながら確認しましょう。

定理 ホッジ数の二つの対称性

コンパクトケーラー多様体（複素次元 nn）のホッジ数は：

  1. 複素共役対称：hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p}（左右対称）。Hp,q‾=Hq,p\overline{H^{p,q}}=H^{q,p} から（前章）。
  2. セール双対：hp,q=hn−p,n−qh^{p,q}=h^{n-p,n-q}（上下＝180°180°対称）。ホッジ・スター（ポアンカレ双対）と複素構造の 両立から。

二つの対称で、ホッジ・ダイヤモンドは上下左右に折り返しても不変です。だから独立なホッジ数は、ダイヤモンドの 1/41/4 ほどを決めれば残りが自動的に決まる。たとえば複素曲面（n=2n=2）なら、h0,0=h2,2=1h^{0,0}=h^{2,2}=1 は必ずで、 h1,0=h0,1=h2,1=h1,2h^{1,0}=h^{0,1}=h^{2,1}=h^{1,2}、h2,0=h0,2h^{2,0}=h^{0,2}、そして中央の h1,1h^{1,1}——独立なのは実質 h1,0,h2,0,h1,1h^{1,0},h^{2,0},h^{1,1} の 三つだけ。位相・複素構造の情報が、少数の数に凝縮されます。

ベッチ数への制約

二つの対称性は、位相不変量であるベッチ数に、複素幾何からの制約を課します。位相だけを見ていては分からない 縛りが、「ケーラー多様体である」ことから出るのです。

定理 ケーラー多様体のベッチ数制約

コンパクトケーラー多様体では：

  1. 奇数ベッチ数は偶数：b2k+1b_{2k+1} は偶数（b2k+1=2∑p<q, p+q=2k+1hp,qb_{2k+1}=2\sum_{p<q,\,p+q=2k+1}h^{p,q}、前章）。
  2. 偶数ベッチ数は正：b2k≥1b_{2k}\ge1（0≤k≤n0\le k\le n）。ケーラー類の冪 [ω]k≠0[\omega]^k\neq0 が H2kH^{2k} に 非零元を与えるから。とくに b2≥1b_2\ge1。

(1)(1) は非ケーラー判定の主力でした。(2)(2) も強力で、「偶数次元のコホモロジーが必ず非自明」＝ケーラー多様体は どの偶数次元にも“穴”を持つ。これはケーラー形式 ω\omega の冪 ωk\omega^k が体積を測る非零類だから （∫Xωn>0\int_X\omega^n>0）。位相を眺めているだけでは「奇数ベッチ数が偶数」「偶数ベッチ数が正」という規則は 出てきません。複素構造とケーラー計量が、位相に外から縛りをかけている——ここに複素幾何の“硬さ”が はっきり現れます。

ハード・レフシェッツ：ω が生む隠れた対称性

ケーラー形式 ω\omega を掛ける操作 L ⁣:α↦ω∧αL\colon\alpha\mapsto\omega\wedge\alpha は、コホモロジーに隠れた対称性を 生みます。これがハード・レフシェッツの定理です。

定理 ハード・レフシェッツの定理

コンパクトケーラー多様体（複素次元 nn）で、ケーラー類を掛ける写像 L=ω∧(−)L=\omega\wedge(-) を kk 回繰り返した Ln−k ⁣:Hn−k(X,R) → ≅  Hn+k(X,R)L^{n-k}\colon H^{n-k}(X,\mathbb R)\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ H^{n+k}(X,\mathbb R) は同型。とくにベッチ数は中央 bnb_n に向かって単調に増える：b0≤b2≤⋯≤bnb_0\le b_2\le\cdots\le b_n（偶数次）、 b1≤b3≤⋯b_1\le b_3\le\cdots（奇数次）。

Ln−kL^{n-k} が同型ということは、低次のコホモロジーが ω\omega の冪で高次にそっくり写る——コホモロジー全体が、 中央 HnH^n を軸に上下対称な階層構造（レフシェッツ分解、sl2\mathfrak{sl}_2 表現の構造）を持つということです。 実際、LL（上げる）とその随伴 Λ\Lambda（下げる）と次数作用素が sl2\mathfrak{sl}_2 の関係 [H,E]=2E[H,E]=2E 等（非可換環・リー環の梯子！）を満たし、コホモロジーが sl2\mathfrak{sl}_2 の 表現になる。ω\omega を掛ける・外す操作が上昇・下降演算子として働き、ケーラー多様体のコホモロジーに リー環の対称性を刻む。ベッチ数の単調増加 b0≤b2≤⋯≤bnb_0\le b_2\le\cdots\le b_n は、その帰結です。

注意 ホッジ理論が課す制約のまとめ

「コンパクトケーラー多様体である」ことから、位相（ベッチ数・コホモロジー）に課される制約：

  • boddb_{\mathrm{odd}} は偶数、b2k≥1b_{2k}\ge1。
  • b0≤b2≤⋯≤bnb_0\le b_2\le\cdots\le b_n、b1≤b3≤⋯≤bnb_1\le b_3\le\cdots\le b_n（ハード・レフシェッツ）。
  • ホッジ数の二重対称。 これらを一つでも破る複素多様体は、ケーラー計量を持てない。逆に言えば、代数多様体（射影＝ケーラー）の位相は これほど制約されている——これが小平やホッジによる、位相への複素幾何の刻印。

注意 つまずきポイント

  • 二つの対称の由来を区別。共役対称 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p} は複素共役（前章）、セール双対 hp,q=hn−p,n−qh^{p,q}=h^{n-p,n-q} は ポアンカレ双対＋複素構造。別々の起源。
  • 制約は「ケーラー ⇒ 位相の条件」。必要条件。破れれば非ケーラー、満たしても必ずケーラーとは限らない。
  • ハード・レフシェッツは sl2\mathfrak{sl}_2 構造。ω\omega 掛け LL・縮約 Λ\Lambda が梯子演算子。前章の ケーラー恒等式 [Λ,∂ˉ]=⋯[\Lambda,\bar\partial]=\cdots の背後にもこの sl2\mathfrak{sl}_2 がある。

この章のまとめ

  • ホッジ・ダイヤモンドは二つの対称を持つ：複素共役 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p}（左右）とセール双対 hp,q=hn−p,n−qh^{p,q}=h^{n-p,n-q}（上下）。独立なホッジ数は少数に凝縮。
  • ベッチ数への制約：boddb_{\mathrm{odd}} 偶数・b2k≥1b_{2k}\ge1。位相だけでは出ない規則を、ケーラー構造が課す。
  • ハード・レフシェッツ：Ln−k ⁣:Hn−k≅Hn+kL^{n-k}\colon H^{n-k}\cong H^{n+k}（ω\omega の冪を掛ける）。コホモロジーが sl2\mathfrak{sl}_2 表現の構造を持ち、ベッチ数が中央へ単調増加。
  • 「ケーラーである」ことが位相に厳しい縛りをかける——複素幾何が位相に刻む硬さ。

ここまでは形式（コホモロジー）の話でした。次章から、複素幾何を代数幾何へつなぐ主役——正則直線束と チャーン類を導入し、幾何を「束の切断」で制御する枠組みへ進みます。