⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第3章 ドルボー作用素と (p,q) 形式

前章で、複素多様体の接空間は正則方向 T1,0T^{1,0} と反正則方向 T0,1T^{0,1} に分かれました。この分解を微分形式に 持ち上げると、多様体論の微分形式が (p,q)(p,q) 型に細かく分類されます。すると外微分 dd が ∂\partial と ∂ˉ\bar\partial という二つの作用素に分裂する。この ∂ˉ\bar\partial（ドルボー作用素）こそが複素幾何の 主役です。「正則である」という条件が、∂ˉf=0\bar\partial f=0 というただ一本の方程式に凝縮され、複素解析の コーシー–リーマン方程式が幾何の言葉に翻訳されます。

(p,q) 形式：形式を正則・反正則で分ける

微分形式は、余接空間 dzjdz_j（正則）と dzˉjd\bar z_j（反正則）の外積で書けます。正則な微分をいくつ、反正則な 微分をいくつ含むかで、形式を分類します。

定義 (p,q) 形式

複素多様体上の微分形式が(p,q) 形式とは、局所座標で α=∑∣I∣=p, ∣J∣=qfIJ  dzi1∧⋯∧dzip∧dzˉj1∧⋯∧dzˉjq\alpha=\sum_{|I|=p,\,|J|=q}f_{IJ}\;dz_{i_1}\wedge\cdots\wedge dz_{i_p}\wedge d\bar z_{j_1}\wedge\cdots\wedge d\bar z_{j_q} と、正則な dzdz を pp 個・反正則な dzˉd\bar z を qq 個含む形に書けること。(p,q)(p,q) 形式の全体を Ap,q\mathcal A^{p,q} と書く。全次数 kk の複素微分形式は (p,q)(p,q) 型に分解する： Ak=⨁p+q=kAp,q.\mathcal A^k=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal A^{p,q}.

実の多様体では、微分形式は次数 kk だけで分類されました。複素構造が入ると、同じ kk 次形式が 「正則をいくつ・反正則をいくつ含むか」で (p,q)(p,q) に細分される。k=1k=1 の形式は (1,0)(1,0)（dzdz）と (0,1)(0,1)（dzˉd\bar z）に、 k=2k=2 の形式は (2,0),(1,1),(0,2)(2,0),(1,1),(0,2) に分かれる。この細分が、複素幾何のあらゆる構造の出発点です。

d が ∂ と ∂̄ に分裂する

外微分 dd を (p,q)(p,q) 形式に施すと、dzdz か dzˉd\bar z が一つ増えるので、(p+1,q)(p+1,q) 型と (p,q+1)(p,q+1) 型の成分が 出ます。この二つを別々の作用素として取り出します。

定義 ドルボー作用素 ∂ と ∂̄

(p,q)(p,q) 形式に対し、外微分を型で分解する： d=∂+∂ˉ,∂ ⁣:Ap,q→Ap+1,q,∂ˉ ⁣:Ap,q→Ap,q+1.d=\partial+\bar\partial,\qquad \partial\colon\mathcal A^{p,q}\to\mathcal A^{p+1,q},\quad \bar\partial\colon\mathcal A^{p,q}\to\mathcal A^{p,q+1}. ∂ˉ\bar\partial をドルボー作用素という。関数 ff に対しては ∂f=∑∂f∂zjdzj\partial f=\sum\frac{\partial f}{\partial z_j}dz_j、∂ˉf=∑∂f∂zˉjdzˉj\bar\partial f=\sum\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}d\bar z_j。

d=∂+∂ˉd=\partial+\bar\partial という分裂は、複素多様体（JJ が可積分）だからこそ起こります——概複素多様体でも JJ が可積分でないと dd に (p+2,q−1)(p+2,q-1) 型などの余計な成分が出て、この綺麗な分裂が崩れます（前章の可積分性が 効く）。d2=0d^2=0 を型ごとに分けると、次の基本関係が出ます。

命題 ∂̄²=0

d2=0d^2=0 を (p,q)(p,q) 型に分解すると ∂2=0,∂ˉ2=0,∂∂ˉ+∂ˉ∂=0.\partial^2=0,\qquad \bar\partial^2=0,\qquad \partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0. とくに ∂ˉ2=0\bar\partial^2=0——ドルボー作用素は dd と同じく「二回で消える」複体を作る。

∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 が決定的です。多様体論で d2=0d^2=0 がド・ラームコホモロジーを生んだのと まったく同じ仕組みで、∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 が次章のドルボーコホモロジーを生みます。複素幾何は、この ∂ˉ\bar\partial-複体の上に築かれます。

正則性 ＝ ∂̄f = 0

ドルボー作用素の意味を、関数で確かめます。∂ˉf=∑∂f∂zˉjdzˉj\bar\partial f=\sum\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}d\bar z_j が 00 になる条件は、すべての反正則微分が消えること。これはまさに正則性の定義です。

定理 正則関数はドルボー作用素の核

複素多様体上の関数 ff が正則（各座標で複素微分可能）⇔\Leftrightarrow ∂ˉf=0\bar\partial f=0。 すなわち ∂f∂zˉj=0\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}=0（すべての jj）。これは複素解析の コーシー–リーマン方程式そのもの。

複素解析で二本の実の方程式（ux=vy, uy=−vxu_x=v_y,\ u_y=-v_x）だったコーシー–リーマンが、複素幾何では ∂ˉf=0\bar\partial f=0 という一本の方程式に凝縮されました。「正則 ＝ 反正則方向に定数 ＝ ∂ˉ\bar\partial で消える」。 ∂ˉ\bar\partial は「どれだけ非正則か」を測る作用素で、その核が正則な対象を捉えます。同様に、(p,0)(p,0) 形式で ∂ˉ\bar\partial に消されるものが正則 pp 形式——係数が正則関数の dzi1∧⋯∧dzipdz_{i_1}\wedge\cdots\wedge dz_{i_p}——で、 前章で予告した「関数の代わりに使う正則な対象」の正体です。

注意 なぜ ∂̄ が主役で ∂ でないのか

∂\partial と ∂ˉ\bar\partial は対称に見えるが、「正則」を捉えるのは ∂ˉ\bar\partial。正則関数・正則形式・正則直線束の 切断は、すべて「∂ˉ\bar\partial で消える」もの。∂ˉ\bar\partial-方程式 ∂ˉu=α\bar\partial u=\alpha の可解性 （∂ˉ\bar\partial-コホモロジーの消滅）が、正則な対象を構成する鍵になる（第4章・第11章）。複素幾何の解析は ∂ˉ\bar\partial をめぐって展開する。

注意 つまずきポイント

  • (p,q)(p,q) の p,qp,q は dzdz・dzˉd\bar z の個数。p+q=kp+q=k（全次数）。実の kk 次形式が複素構造で (p,q)(p,q) に細分。
  • d=∂+∂ˉd=\partial+\bar\partial は複素多様体でこそ。JJ が可積分なとき dd が二つに綺麗に割れる。可積分性 （前章）が効いている。
  • 正則 ＝ ∂ˉ\bar\partial の核。反正則微分 ∂/∂zˉ\partial/\partial\bar z がゼロ。コーシー–リーマンの幾何版。 ∂\partial でなく ∂ˉ\bar\partial が正則性を担うことを取り違えない。

この章のまとめ

  • 微分形式は複素構造で (p,q)(p,q) 型（dzdz を pp 個・dzˉd\bar z を qq 個）に細分：Ak=⨁p+q=kAp,q\mathcal A^k=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal A^{p,q}。
  • 外微分が分裂 d=∂+∂ˉd=\partial+\bar\partial（∂\partial は (p+1,q)(p{+}1,q)、∂ˉ\bar\partial は (p,q+1)(p,q{+}1) 型を上げる）。 d2=0d^2=0 から ∂2=∂ˉ2=0\partial^2=\bar\partial^2=0、∂∂ˉ+∂ˉ∂=0\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0。
  • ∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 が次章のドルボーコホモロジーを生む（d2=0d^2=0 とド・ラームの複素版）。
  • 正則 ⟺ ∂ˉf=0\bar\partial f=0（コーシー–リーマンの一本化）。∂ˉ\bar\partial が「非正則さ」を測り、その核が正則な 対象（正則関数・正則 pp 形式）を捉える。∂ˉ\bar\partial が複素幾何の解析の主役。

次章は、∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 からドルボーコホモロジー H∂ˉp,qH^{p,q}_{\bar\partial} を定義し、それが正則な対象 （層コホモロジー）と一致すること（ドルボーの定理）を見ます。複素多様体の不変量が姿を現します。