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第4章 ドルボーコホモロジー

前章で ∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 を得ました。多様体論で d2=0d^2=0 からド・ラームコホモロジーを作ったのと まったく同じ仕組みで、∂ˉ\bar\partial からドルボーコホモロジー H∂ˉp,qH^{p,q}_{\bar\partial} が定義できます。しかも これは単なる形式的な構成ではありません。ドルボーの定理により、H∂ˉp,qH^{p,q}_{\bar\partial} は正則な対象 （正則 pp 形式の層コホモロジー）と一致する——解析的に作った不変量が、代数幾何的な不変量と同じものになる。 代数幾何と複素解析が握手する、この分野の基本不変量が姿を現します。

ドルボーコホモロジーの定義

∂ˉ ⁣:Ap,q→Ap,q+1\bar\partial\colon\mathcal A^{p,q}\to\mathcal A^{p,q+1} が ∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 を満たすので、qq を動かすと複体 Ap,0→ ∂ˉ Ap,1→ ∂ˉ Ap,2→ ∂ˉ ⋯\mathcal A^{p,0}\xrightarrow{\ \bar\partial\ }\mathcal A^{p,1}\xrightarrow{\ \bar\partial\ }\mathcal A^{p,2}\xrightarrow{\ \bar\partial\ }\cdots ができます。そのコホモロジーを取ります。

定義 ドルボーコホモロジー

H∂ˉp,q(X)=ker⁡(∂ˉ ⁣:Ap,q→Ap,q+1)im(∂ˉ ⁣:Ap,q−1→Ap,q)H^{p,q}_{\bar\partial}(X)=\frac{\ker\big(\bar\partial\colon\mathcal A^{p,q}\to\mathcal A^{p,q+1}\big)}{\mathrm{im}\big(\bar\partial\colon\mathcal A^{p,q-1}\to\mathcal A^{p,q}\big)} をドルボーコホモロジーという。分子は「∂ˉ\bar\partial で閉じた (p,q)(p,q) 形式」（∂ˉ\bar\partial-閉）、分母は 「∂ˉ\bar\partial で完全なもの」。その次元 hp,q=dim⁡CH∂ˉp,q(X)h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}_{\bar\partial}(X) をホッジ数という。

構造はド・ラームコホモロジー HdRk=ker⁡d/im dH^k_{\mathrm{dR}}=\ker d/\mathrm{im}\,d とうり二つ。ただし dd の代わりに ∂ˉ\bar\partial、次数 kk の代わりに二重次数 (p,q)(p,q)。ド・ラームが「穴の数」（実の位相不変量）を測ったのに対し、 ドルボーは「正則構造の穴」（複素構造まで込めた不変量）を測ります。ホッジ数 hp,qh^{p,q} は、複素多様体の 最も基本的な不変量で、後の章（第8–9章）でホッジ・ダイヤモンドとして整理されます。

ドルボーの定理：解析と正則対象の一致

ドルボーコホモロジーの真価は、それが正則な対象で書けることです。q=0q=0 の場合から見ましょう。Hp,0H^{p,0} は 「∂ˉ\bar\partial で閉じた (p,0)(p,0) 形式」、すなわち正則 pp 形式（第3章）の全体です。一般の qq については、 層コホモロジーとの一致が成り立ちます。

定理 ドルボーの定理

複素多様体 XX について、ドルボーコホモロジーは正則 pp 形式の層 ΩXp\Omega^p_X の層コホモロジーと同型： H∂ˉp,q(X)≅Hq(X,ΩXp).H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^q\big(X,\Omega^p_X\big). とくに H∂ˉ0,q(X)≅Hq(X,OX)H^{0,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^q(X,\mathcal O_X)（正則関数の層のコホモロジー）。

証明の心は、∂ˉ\bar\partial-ポアンカレ補題——「局所的には ∂ˉ\bar\partial-閉な形式は ∂ˉ\bar\partial-完全」 （∂ˉu=α\bar\partial u=\alpha が局所可解、複素解析の ∂ˉ\bar\partial-方程式の可解性）——です。 これにより、なめらかな (p,q)(p,q) 形式の複体が、正則 pp 形式の層の細層分解（代数幾何で 学んだ層コホモロジーの計算法）になる。左辺は解析的（滑らかな形式と ∂ˉ\bar\partial）、右辺は代数幾何的 （正則な層とそのコホモロジー）。両者が一致するのがドルボーの定理で、多様体論のド・ラームの定理 （HdRk≅Hk(X,R)H^k_{\mathrm{dR}}\cong H^k(X,\mathbb R)、滑らかな形式＝位相的コホモロジー）の複素版にあたります。

注意 三つのコホモロジーが並ぶ

複素多様体には三種のコホモロジーが住む：

  • ド・ラーム HdRkH^k_{\mathrm{dR}}（dd、実の位相不変量、ベッチ数）、
  • ドルボー H∂ˉp,qH^{p,q}_{\bar\partial}（∂ˉ\bar\partial、複素構造の不変量、ホッジ数）、
  • 層コホモロジー Hq(X,Ωp)H^q(X,\Omega^p)（正則な層、代数幾何）。 ドルボーの定理が後ろ二つを結ぶ。そして一般には ⨁p+q=kHp,q\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q} と HdRkH^k_{\mathrm{dR}} の関係は 自明でない——それを結ぶのが、ケーラー多様体でのホッジ分解（第8章）。三者が一致する舞台がケーラー幾何。

例：リーマン面と射影空間

具体例でホッジ数を見ます。抽象的な定義に血を通わせましょう。

例 コンパクトリーマン面（種数 g）

種数 gg のコンパクトリーマン面 Σ\Sigma（複素1次元）では：h0,0=1h^{0,0}=1（定数、正則関数）、 h1,0=gh^{1,0}=g（正則1形式 ＝ アーベル微分、これが種数の解析的な意味）、h0,1=gh^{0,1}=g、h1,1=1h^{1,1}=1。 正則1形式の次元がちょうど種数 gg に一致するのが、リーマン–ロッホの芽。

例 複素射影空間 ℂℙⁿ

CPn\mathbb{CP}^n では hp,q=1h^{p,q}=1（p=qp=q のとき）、00（p≠qp\neq q のとき）。対角だけが 11 の、最も単純な ホッジ数の配置。ベッチ数は b2k=1,bodd=0b_{2k}=1,b_{\mathrm{odd}}=0 で、CPn\mathbb{CP}^n の各偶数次元に「一つずつ穴」がある （CP1\mathbb{CP}^1＝球面、CP2\mathbb{CP}^2＝…）ことに対応。

種数 gg のリーマン面で h1,0=gh^{1,0}=g となるのは印象的です。位相的な穴の数（種数）が、正則1形式という解析的な 対象の次元として現れる。位相と解析の一致——複素幾何の中心テーマが、最も簡単な例ですでに顔を出しています。

注意 つまずきポイント

  • ドルボーはド・ラームの複素版。d→∂ˉd\to\bar\partial、次数 k→k\to 二重次数 (p,q)(p,q)。ker⁡/im\ker/\mathrm{im} の 作り方は同じ。測る対象が「実の穴」から「正則構造の穴」に変わる。
  • Hp,0H^{p,0} ＝ 正則 pp 形式。q=0q=0 では分母（∂ˉ\bar\partial の像）がなく、∂ˉ\bar\partial-閉＝正則。ホッジ数 hp,0h^{p,0} は正則 pp 形式の次元。
  • 一般には ⨁Hp,q≠HdRk\bigoplus H^{p,q}\neq H^k_{\mathrm{dR}}。ドルボーとド・ラームが直接は結びつかない。両者を 結ぶには計量（ケーラー）が要る（第8章）。ここでは別々の不変量として押さえる。

この章のまとめ

  • ドルボーコホモロジー H∂ˉp,q=ker⁡∂ˉ/im ∂ˉH^{p,q}_{\bar\partial}=\ker\bar\partial/\mathrm{im}\,\bar\partial（∂ˉ2=0\bar\partial^2=0 から、 ド・ラームの複素版）。次元がホッジ数 hp,qh^{p,q}＝複素多様体の基本不変量。
  • ドルボーの定理 H∂ˉp,q≅Hq(X,Ωp)H^{p,q}_{\bar\partial}\cong H^q(X,\Omega^p)：解析的なドルボーが、正則 pp 形式の層 コホモロジー（代数幾何）と一致。証明は ∂ˉ\bar\partial-ポアンカレ補題。ド・ラームの定理の複素版。
  • 複素多様体にはド・ラーム・ドルボー・層コホモロジーの三種が住み、後二者をドルボーが結ぶ。三者が一致する 舞台がケーラー幾何（第8章）。
  • 種数 gg のリーマン面で h1,0=gh^{1,0}=g（正則1形式＝種数）、CPn\mathbb{CP}^n は対角のみ hp,p=1h^{p,p}=1。位相と解析の 一致の芽。

これで「複素構造と ∂ˉ\bar\partial」（前半）が揃いました。次章から計量を導入します。正則構造と調和する エルミート計量と、そこから作られるケーラー形式 ω\omega、そして dω=0d\omega=0 というケーラー条件へ進みます。