⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第5章 エルミート計量とケーラー形式

ここまでは複素構造（JJ・∂ˉ\bar\partial）だけを扱いました。ここから計量を導入します。リーマン幾何で 長さや角度を測ったように、複素多様体にも計量を入れたい。ただし正則構造と喧嘩しないよう、複素構造 JJ と調和する エルミート計量を選びます。すると計量から自然に (1,1)(1,1) 形式ケーラー形式 ω\omega が現れ、それが閉じている （dω=0d\omega=0）というケーラー条件が、次章以降の奇跡（ホッジ理論）の鍵になります。計量・複素構造・微分形式が 一つに絡み合う舞台を用意します。

エルミート計量：Jと調和する内積

複素多様体の各接空間には、複素構造 JJ（90°90° 回転）が入っています。計量を入れるとき、この JJ を尊重した ——JJ が回転（等長）になるような——内積を選びます。

定義 エルミート計量

複素多様体 XX の各接空間のリーマン計量 gg がエルミート計量とは、JJ と両立すること： g(JX,JY)=g(X,Y)(J が等長).g(JX,JY)=g(X,Y)\qquad(\text{$J$ が等長}). このとき gg から反対称な 22 形式 ω(X,Y)=g(JX,Y)\omega(X,Y)=g(JX,Y) が定まる。ω\omega を基本形式（ケーラー形式の候補）といい、これは (1,1)(1,1) 形式である。

「JJ が計量を保つ」——90°90° 回転しても長さが変わらない、という自然な要求です。Cn\mathbb C^n の標準計量は エルミートで、そこから作られる基本形式は ω=i2∑dzj∧dzˉj\omega=\frac{i}{2}\sum dz_j\wedge d\bar z_j。エルミート計量では、 計量 gg（対称）と基本形式 ω\omega（反対称）と複素構造 JJ の三つが、ω(X,Y)=g(JX,Y)\omega(X,Y)=g(JX,Y) という関係で 三位一体になります。どれか一つを決めれば、JJ を介して他が決まる。この三者の絡み合いが複素幾何の計量論の 特徴です。

ケーラー条件：ω が閉じている

エルミート計量はいつでも入ります（11 の分割で貼り合わせればよい）。ですが本当に良い性質が出るのは、基本形式 ω\omega が閉形式であるとき——ここに条件を課します。

定義 ケーラー計量・ケーラー多様体

エルミート計量の基本形式 ω\omega が閉じている（ケーラー条件） dω=0d\omega=0 とき、gg をケーラー計量、ω\omega をケーラー形式、(X,ω)(X,\omega) を ケーラー多様体という。

dω=0d\omega=0 は一見ささやかな微分方程式です。でもこれが絶大な効果を生みます。ω\omega が閉じた (1,1)(1,1) 形式 なので、ド・ラームコホモロジーの類 [ω]∈H2(X,R)[\omega]\in H^2(X,\mathbb R) を定める——ケーラー類。 コンパクトケーラー多様体では [ω]≠0[\omega]\neq0（ωn\omega^n が体積形式で ∫Xωn>0\int_X\omega^n>0 だから、ω\omega は 完全でない）。そして次章以降で見るように、dω=0d\omega=0 は「計量が複素構造と“二階のオーダーまで”標準的に 一致する」ことを意味し、それがホッジ理論の三つのラプラシアンを一致させる（第8章）源になります。

なぜ d ω = 0 が効くのか——気持ち

ケーラー条件の深さを、直感的に述べておきます。dω=0d\omega=0 は、複素構造 JJ が計量に対して 平行（レヴィ–チヴィタ接続で不変、∇J=0\nabla J=0）であることと同値です。

命題 ケーラー条件の言い換え

コンパクト複素多様体のエルミート計量について、次は同値：

  1. dω=0d\omega=0（ケーラー条件）。
  2. 複素構造 JJ がレヴィ–チヴィタ接続で平行：∇J=0\nabla J=0。
  3. 各点のまわりに、計量が標準計量に二階のオーダーまで一致する正則座標がある。

(2)(2) が心臓です。リーマン幾何のレヴィ–チヴィタ接続で「JJ を平行移動しても JJ の まま」——複素構造と計量が、微分のレベルで完全に噛み合っている。(3)(3) はその局所的な現れで、ケーラー多様体は 「各点で Cn\mathbb C^n の標準計量に二次近似で一致」する。だから複素解析（正則）と微分幾何（計量）の道具が同時に 使え、両者の情報がホッジ理論で融合する。dω=0d\omega=0 という一本の式が、この深い両立性を凝縮しているのです。

注意 ケーラーでないエルミート多様体

すべての複素多様体はエルミート計量を持つが、ケーラー計量を持つとは限らない。ホップ多様体 （Cn∖{0}\mathbb C^n\setminus\{0\} をスケール変換で割った複素多様体）はケーラーでない典型で、b1b_1 が奇数になり （次章以降のケーラー制約に反する）ケーラー計量を持てない。ケーラーは「入れば非常に良いが、入るとは限らない」 特別な条件。次章で、豊富なケーラー多様体の例（射影空間・射影多様体）を見る。

注意 つまずきポイント

  • エルミート計量はいつでも・ケーラー計量は特別。JJ と両立する計量（エルミート）は 11 の分割で必ず作れる。 だがその基本形式が閉じる（ケーラー）かは別問題。
  • ω\omega は (1,1)(1,1) 形式で実形式。ω=g(J⋅,⋅)\omega=g(J\cdot,\cdot) は反対称な実 22 形式かつ (1,1)(1,1) 型。 計量・複素構造・形式の三位一体。
  • dω=0d\omega=0 ⟺ ∇J=0\nabla J=0 が本質。ケーラー条件は「複素構造が計量と微分レベルで両立」。この両立が ホッジ理論（第8章）を可能にする。単なる技術的条件でなく深い意味を持つ。

この章のまとめ

  • エルミート計量＝複素構造 JJ と両立する（JJ が等長な）リーマン計量。そこから基本形式 ω(X,Y)=g(JX,Y)\omega(X,Y)=g(JX,Y)（実 (1,1)(1,1) 形式）が定まる。計量・JJ・ω\omega は三位一体。
  • ケーラー条件 dω=0d\omega=0：基本形式が閉形式。ω\omega はケーラー類 [ω]∈H2[\omega]\in H^2 を定め、コンパクトなら 非自明（∫ωn>0\int\omega^n>0）。
  • ケーラー条件は ∇J=0\nabla J=0（複素構造が接続で平行）と同値。「計量が各点で標準計量に二階まで一致」を意味し、 複素解析と微分幾何の道具が同時に使える源。
  • エルミートはいつでも、ケーラーは特別（ホップ多様体は非ケーラー）。次章で豊富なケーラー例を見る。

次章は、ケーラー多様体の具体例と「なぜ特別か」を掘り下げます。とくに CPn\mathbb{CP}^n のフビニ–スタディ計量が 自然なケーラー計量を与え、その部分多様体（射影代数多様体）がすべてケーラーになることを見ます。