第6章 ケーラー多様体

前章でケーラー条件 $d\omega=0$ の深さを見ました。「特別だが、入るとは限らない」条件です。ではケーラー多様体は 珍しいのか——実は、数学で扱う複素多様体の圧倒的多数がケーラーです。その理由は、最重要のモデル空間 複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ が自然なケーラー計量（フビニ–スタディ計量）を持ち、しかもその部分多様体が すべてケーラーになるから。射影空間の中に住む代数多様体は、全部ケーラー多様体。この章で、ケーラー幾何が 代数幾何を丸ごと呑み込む様子を見ます。

ケーラーポテンシャル：一つの関数から計量が出る

ケーラー計量は、局所的にはたった一つの実関数から生成されます。これがケーラー幾何の著しい特徴です。

普通のリーマン計量は $g_{ij}$ という $n(2n+1)$ 個くらいの成分を持つ複雑なデータでした。ところがケーラー計量は、 局所的に一個のスカラー関数 $\varphi$ に凝縮される。$\omega=i\partial\bar\partial\varphi$ を展開すると $g_{j\bar k}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial z_j\partial\bar z_k}$——計量が一つのポテンシャルの二階微分（複素ヘッセ 行列）で書ける。$d\omega=0$（ケーラー条件）が、この「一関数からの生成」を可能にしています （$d(i\partial\bar\partial\varphi)=0$ は $\partial^2=\bar\partial^2=0$ から自動）。計量論が関数論に落ちるのが、 ケーラー幾何の計算のしやすさの源です。

フビニ–スタディ計量：ℂℙⁿ の自然なケーラー計量

最重要の例、複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ に、標準的なケーラー計量を入れます。

$\mathbb{CP}^1$（リーマン球面）でこの計量を計算すると、ちょうど球面の丸い計量（の定数倍）になります。 $\mathbb{CP}^n$ は、この計量で「一様に曲がった」コンパクトケーラー多様体。$U(n+1)$ 対称性のおかげで、どの点も 同等に見える等質空間です。フビニ–スタディ計量は、複素幾何のあらゆる計算のベンチマークになります。

核心：射影多様体はすべてケーラー

フビニ–スタディ計量の最大のご利益は、部分多様体への遺伝です。

これが決定的です。$\mathbb{CP}^n$ の中で斉次多項式 $f_1=\cdots=f_r=0$ の零点として定義される図形 ——楕円曲線、代数曲面、カラビ–ヤウ多様体など、代数幾何が扱う射影多様体のすべて——が、 自動的にケーラー多様体になる。だから代数幾何の対象は、まるごと複素幾何（ケーラー幾何）の道具で調べられます。 第4章のドルボーの定理（解析＝正則層）と合わせ、複素幾何は微分幾何・複素解析・代数幾何の三つが交わる場所 なのです。逆に、コンパクトケーラー多様体が射影多様体になるための条件（＝どんな複素多様体が代数的か）を問うのが、 第11章の小平の埋め込み定理です。

この章のまとめ

• ケーラー計量は局所的に一つのケーラーポテンシャル $\varphi$ から $\omega=i\partial\bar\partial\varphi$ で 生成される（計量 ＝ $\varphi$ の複素ヘッセ行列）。計量論が関数論に落ちる。
• フビニ–スタディ計量：$\mathbb{CP}^n$ の $U(n+1)$ 不変な標準ケーラー計量（$\varphi=\log(1+|w|^2)$）。 $\mathbb{CP}^1$ では球面計量。
• 部分多様体はケーラー（$d\omega=0$ が制限で保たれる）。ゆえに $\mathbb{CP}^n$ の射影代数多様体は すべてケーラー——代数幾何の全対象が複素幾何の道具で扱える。
• ケーラーは豊富（射影多様体を全部含む）だが「すべての複素多様体」ではない（非ケーラー多様体もある）。

計量が入り、豊富なケーラー多様体が手に入りました。次章から、いよいよホッジ理論へ。計量から作る ラプラシアンと調和形式が、コホモロジーの“最良の代表”を与えることを見ます。