第7章調和形式とホッジ分解

前章までで、複素構造（ $\bar\partial$ ）と計量（ケーラー）が揃いました。ここからホッジ理論の核心に入ります。多様体論のド・ラームコホモロジーでは、一つのコホモロジー類にたくさんの閉形式が属していました（ $\alpha$ と $\alpha+d\beta$ は同じ類）。計量を入れると、その中からただ一つの「最良の代表」——エネルギー最小の調和形式——が選べます。これがホッジの定理です。位相的な穴（コホモロジー）に、解析的に最も美しい姿を与える——この一般的な仕組みを、まず（複素に限らず）コンパクトリーマン多様体で確立します。

ラプラシアン：エネルギーを測る作用素

計量が入ると、微分形式に内積が定まり、外微分 $d$ の「随伴作用素」 $d^*$ が作れます（関数解析の随伴の発想）。この二つからラプラシアンを組みます。

定義余微分とラプラシアン

コンパクトリーマン多様体で、計量から微分形式の $L^2$ 内積 $\langle\alpha,\beta\rangle=\int_X\alpha\wedge*\beta$ （ $*$ はホッジ・スター）が定まる。外微分 $d$ の随伴を余微分 $d^*$ （ $\langle d\alpha,\beta\rangle=\langle\alpha,d^*\beta\rangle$ ）、 $\Delta=dd^*+d^*d$ をホッジ–ラプラシアンという。 $\Delta\alpha=0$ を満たす形式を調和形式という。

ラプラシアンは、フーリエ解析やPDEで見た $-\sum\partial^2$ の、微分形式版・曲がった空間版です。調和形式 $\Delta\alpha=0$ は「これ以上変形してエネルギーを下げられない、最も“平らな”形式」。実は $\Delta\alpha=0\Leftrightarrow d\alpha=0$ かつ $d^*\alpha=0$ （閉じていて、かつ余閉）——調和形式は自動的に閉形式なので、コホモロジー類を定めます。

ホッジの定理：調和形式＝コホモロジー

ホッジ理論の心臓です。各コホモロジー類に、調和な代表がちょうど一つある。

定理ホッジの定理・ホッジ分解

コンパクトリーマン多様体で、微分形式の空間は直交分解する（ホッジ分解）： $\mathcal A^k=\mathcal H^k\oplus\mathrm{im}\,d\oplus\mathrm{im}\,d^*,$ ここで $\mathcal H^k=\ker\Delta$ は調和 $k$ 形式の空間。したがって各ド・ラームコホモロジー類は ただ一つの調和形式で代表され、 $H^k_{\mathrm{dR}}(X)\cong\mathcal H^k\qquad(\text{調和形式＝コホモロジー}).$ とくに $\mathcal H^k$ は有限次元で、 $\dim\mathcal H^k=b_k$ （ベッチ数）。

証明

（骨子） $\Delta$ は楕円型作用素（PDE）で、コンパクト多様体上ではその解析（楕円型正則性・スペクトル理論、レリッヒのコンパクト性）から $\ker\Delta$ は有限次元、像は閉で上の直交分解が成り立つ。閉形式 $\alpha$ （ $d\alpha=0$ ）を分解すると、 $\mathrm{im}\,d^*$ 成分は $d$ -完全でないと消え、 $\alpha=$ 調和成分 $+ d\beta$ 。ゆえに各類に調和代表がちょうど一つ。 $\ker\Delta$ の有限次元性が $b_k<\infty$ を与える。

この定理の意味を噛みしめてください。コホモロジー類は「閉形式を完全形式の分だけずらした同値類」という、たくさんの代表を持つ曖昧な対象でした。ホッジの定理は、そこからエネルギー最小の一つを選び出す。位相（コホモロジー）と解析（調和形式＝楕円型 PDE の解）が、ぴたりと一致する。しかもこれは変分法の精神——「各類の中でディリクレエネルギー $\|\alpha\|^2$ を最小化する形式が調和形式」——そのものです。位相的な穴に、変分的に最良の姿が対応する。

ポアンカレ双対：ホッジ・スターの贈り物

ホッジ理論から、位相の基本的な対称性が透けて見えます。ホッジ・スター作用素 $*$ が調和形式を調和形式に写すことから、位相幾何のポアンカレ双対が自然に出ます。

定理ポアンカレ双対（ホッジ理論版）

コンパクト向き付き $n$ 次元多様体で、ホッジ・スター $*\colon\mathcal H^k\to\mathcal H^{n-k}$ は同型。ゆえに $b_k=b_{n-k}.$

$*$ は $k$ 形式を $(n-k)$ 形式に写し、 $\Delta$ と可換なので調和形式どうしを対応させます。だから $\mathcal H^k$ と $\mathcal H^{n-k}$ が同型で、ベッチ数が対称になる。位相幾何でカップ積とサイクルの交叉から示したポアンカレ双対が、ここでは計量（ホッジ・スター）を通して解析的に再現される。位相不変量であるベッチ数の対称性が、計量に依存する調和形式の理論から出てくる——不変量は計量の選び方によらないので、これでよいのです。

注意ここまでは「複素」を使っていない

本章のホッジの定理・ポアンカレ双対は、複素構造を使わない一般のコンパクトリーマン多様体の話。ラプラシアン $\Delta$ と調和形式は実の幾何で意味を持つ。複素構造が本領を発揮するのは次章—— $\bar\partial$ からも同様にラプラシアン $\Delta_{\bar\partial}$ が作れ、ケーラー条件のもとで $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ と一致することで、ド・ラーム（実）とドルボー（複素）が結びつく。ここはその舞台設定。

注意つまずきポイント

調和形式は各類に一つ。閉形式は無数にあるが、調和なもの（ $\Delta\alpha=0$ ）はちょうど一つ。エネルギー最小の最良代表。
$\Delta$ は楕円型 PDE。有限次元性・分解は楕円型作用素の解析（PDE 発展）による。ホッジ理論は幾何と PDE の合流点。
本章は実の多様体の話。複素構造はまだ本質的に使っていない。次章でケーラーが「三つのラプラシアンを一致させる」ことで、複素の魔法が起きる。

この章のまとめ

計量からラプラシアン $\Delta=dd^*+d^*d$ が作れ、調和形式（ $\Delta\alpha=0\Leftrightarrow$ 閉かつ余閉）が定まる。
ホッジの定理：各コホモロジー類に調和代表がちょうど一つ。 $H^k_{\mathrm{dR}}\cong\mathcal H^k=\ker\Delta$ 、 $\dim\mathcal H^k=b_k$ 。位相（穴）と解析（楕円型 PDE の解、変分の最小元）が一致。
ポアンカレ双対 $b_k=b_{n-k}$ が、ホッジ・スター $*\colon\mathcal H^k\cong\mathcal H^{n-k}$ から出る。
ここまでは複素構造を使わない一般論。次章でケーラーが $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ を導き、ド・ラームとドルボーを結ぶ。

次章は、この調和形式の理論に複素構造を注ぎます。ケーラー多様体では三つのラプラシアンが一致し、 $H^k=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}$ というホッジ分解——位相が複素解析的に分裂する奇跡——が起こります。