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第8章 ケーラー恒等式とホッジ分解

前章で、コンパクトリーマン多様体の各コホモロジー類に調和形式がちょうど一つ対応しました。ですがそこまでは 複素構造を使っていません。この章で、ケーラー条件 dω=0d\omega=0 が起こす奇跡を見ます。dd から作る ラプラシアン Δ\Delta と、∂ˉ\bar\partial から作るラプラシアン Δ∂ˉ\Delta_{\bar\partial} が、ケーラーのもとで Δ=2Δ∂ˉ\Delta=2\Delta_{\bar\partial} と一致する。その帰結として、kk 次コホモロジーが (p,q)(p,q) 型に分裂する ——ホッジ分解 Hk=⨁p+q=kHp,qH^k=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}。位相的な穴が、複素解析的な情報にぴたりと分解される、 複素幾何の頂点です。

三つのラプラシアン

計量が入ると、dd だけでなく ∂,∂ˉ\partial,\bar\partial からもラプラシアンが作れます。それぞれの随伴 ∂∗,∂ˉ∗\partial^*,\bar\partial^* を使って三つ組みます。

定義 三つのラプラシアン

Δd=dd∗+d∗d,Δ∂=∂∂∗+∂∗∂,Δ∂ˉ=∂ˉ∂ˉ∗+∂ˉ∗∂ˉ.\Delta_d=dd^*+d^*d,\qquad \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial,\qquad \Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\bar\partial. 一般のエルミート多様体では、この三つは互いに異なる。Δ∂ˉ\Delta_{\bar\partial} の核（∂ˉ\bar\partial-調和形式）が ドルボーコホモロジー H∂ˉp,qH^{p,q}_{\bar\partial} の代表を、Δd\Delta_d の核（調和形式）がド・ラームコホモロジー HdRkH^k_{\mathrm{dR}} の代表を与える。

Δd\Delta_d は実のコホモロジー（穴、ベッチ数）を、Δ∂ˉ\Delta_{\bar\partial} は複素のコホモロジー（ホッジ数）を 測ります。一般の複素多様体では両者に関係はなく、ド・ラームとドルボーは無関係な不変量でした（第4章）。ところが ケーラー条件を課すと——。

ケーラーの奇跡：三つが一致する

定理 ケーラー恒等式

コンパクトケーラー多様体では、三つのラプラシアンが一致する（定数倍を除いて）： Δd=2Δ∂=2Δ∂ˉ.\Delta_d=2\Delta_{\partial}=2\Delta_{\bar\partial}.

証明

（骨子）ケーラー条件 dω=0d\omega=0 から、ケーラー形式との縮約 Λ\Lambda（ω∧\omega\wedge の随伴）と ∂,∂ˉ\partial,\bar\partial の 間にケーラー恒等式 [Λ,∂ˉ]=−i∂∗[\Lambda,\bar\partial]=-i\partial^*、[Λ,∂]=i∂ˉ∗[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^* が成り立つ。 これらを Δd=(∂+∂ˉ)(∂∗+∂ˉ∗)+⋯\Delta_d=(\partial+\bar\partial)(\partial^*+\bar\partial^*)+\cdots に代入して展開すると、交差項が ω\omega の平行性（∇ω=0\nabla\omega=0、第5章）で消え、Δd=2Δ∂ˉ\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial} に整理される。 dω=0d\omega=0 が交差項を殺すのが要。

これがケーラー幾何の核心的な恒等式です。dω=0d\omega=0 という一本の条件が、dd（実）と ∂ˉ\bar\partial（複素）の 二つの解析を同じラプラシアンに統一する。前章で「dω=0⇔∇J=0d\omega=0\Leftrightarrow\nabla J=0（複素構造が計量と 両立）」と見ましたが、その両立性がここで解析のレベルに効いて、実と複素の調和形式を一致させるのです。この一致 から、決定的な帰結が転がり出ます。

ホッジ分解：位相が (p,q) に分裂する

Δd=2Δ∂ˉ\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial} が意味するのは、「dd-調和形式と ∂ˉ\bar\partial-調和形式が同じもの」という こと。Δ∂ˉ\Delta_{\bar\partial} は (p,q)(p,q) 型を保つ（∂ˉ\bar\partial が型を一つずつ動かすので）ので、dd-調和形式も (p,q)(p,q) 成分に分解でき、その分解がそのままコホモロジーの分解になります。

定理 ホッジ分解

コンパクトケーラー多様体 XX で、kk 次コホモロジーは (p,q)(p,q) 型に直和分解する： Hk(X,C)=⨁p+q=kHp,q(X),Hp,q=H∂ˉp,q(X),Hp,q‾=Hq,p.H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X),\qquad H^{p,q}=H^{p,q}_{\bar\partial}(X),\quad \overline{H^{p,q}}=H^{q,p}. したがってベッチ数はホッジ数の和 bk=∑p+q=khp,qb_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}、そして複素共役対称 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p}。

この定理の破壊力を味わってください。kk 次コホモロジー——純粋に位相的な穴——が、複素構造を使って Hp,qH^{p,q}（複素解析的な情報）にぴたりと分解される。第4章では無関係だったド・ラーム（bkb_k）とドルボー （hp,qh^{p,q}）が、ケーラーのもとで bk=∑hp,qb_k=\sum h^{p,q} と結ばれる。しかも複素共役 Hp,q‾=Hq,p\overline{H^{p,q}}=H^{q,p} から 対称性 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p} が出る。位相と複素解析の、これ以上ない深い一致です。

すぐ出る帰結を装置で確かめましょう。kk が奇数のとき、bk=∑p+q=khp,qb_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q} の項が対称性 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p} でペアを組む（p≠qp\neq q しかない）ので、bkb_k は偶数。これは「ケーラーでない複素多様体」を排除する強力な 判定条件です（ホップ多様体は b1=1b_1=1 でケーラーになれない、第5章）。

装置で「対称性を強調」を押すと、二つの対称——複素共役 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p}（左右）とセール双対 hp,q=hn−p,n−qh^{p,q}=h^{n-p,n-q}（上下）——が見えます。各段の和がベッチ数（右列）、奇数段が偶数になっていることも確認 してください。ホッジ・ダイヤモンドは、コンパクトケーラー多様体の全コホモロジー情報を一枚に凝縮した“設計図”です。

注意 つまずきポイント

  • 奇跡はケーラーでこそ。Δd=2Δ∂ˉ\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial} はケーラー条件 dω=0d\omega=0 に依存。一般の複素多様体 では三つのラプラシアンは異なり、ホッジ分解は成り立たない。
  • Hp,qH^{p,q} は複素係数。ホッジ分解は Hk(X,C)H^k(X,\mathbb C)（複素係数コホモロジー）の分解。実係数のままでは (p,q)(p,q) に分けられない。
  • boddb_{\mathrm{odd}} 偶数はケーラーの必要条件。破れていれば非ケーラー。ただし十分条件ではない （満たしても非ケーラーな複素多様体はある）。判定の一方向。

この章のまとめ

  • 計量から三つのラプラシアン Δd,Δ∂,Δ∂ˉ\Delta_d,\Delta_\partial,\Delta_{\bar\partial} が作れ、一般には異なる。
  • ケーラー恒等式：コンパクトケーラーで Δd=2Δ∂ˉ\Delta_d=2\Delta_{\bar\partial}（dω=0d\omega=0 が交差項を殺す）。実の 調和形式と ∂ˉ\bar\partial-調和形式が一致。
  • ホッジ分解 Hk(X,C)=⨁p+q=kHp,qH^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}：位相的な穴が (p,q)(p,q) 型に分裂。 bk=∑hp,qb_k=\sum h^{p,q}、複素共役対称 hp,q=hq,ph^{p,q}=h^{q,p}、ゆえに boddb_{\mathrm{odd}} は偶数（非ケーラー判定）。
  • ホッジ数を菱形に並べたホッジ・ダイヤモンドが、コンパクトケーラー多様体の全コホモロジー情報を凝縮。

次章は、このホッジ分解から流れ出る帰結を掘り下げます。ホッジ・ダイヤモンドのもう一つの対称（セール双対）、 ベッチ数への制約、そしてハード・レフシェッツの定理——ケーラー類 ω\omega が生む隠れた対称性を見ます。