⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第11章 曲率テンソルと断面曲率

曲率を「微分の非可換性」として捉える

前章で、曲がった空間では平行移動が道に依存し、閉じた道を一周するとベクトルが回転して戻る、と見ました。 この「道による違い」を無限小で捉えたい。二つの方向 X,YX,Y に沿って共変微分する順序を変えると、結果が 変わるはず——∇X∇Y\nabla_X\nabla_Y と ∇Y∇X\nabla_Y\nabla_X の差が、曲率の正体です。

平らな空間なら微分の順序は交換可能（∂i∂j=∂j∂i\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i）。曲がった空間では、共変微分に 補正項 Γ\Gamma が入るせいで、順序を変えると差が出る。その差を測るのがリーマン曲率テンソルです。

曲率＝共変微分の順序を変えたときのズレ ∇X∇Y−∇Y∇X\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X。平らなら 00、曲がっていれば非ゼロ。

リーマン曲率テンソル

定義 リーマン曲率テンソル

ベクトル場 X,Y,ZX,Y,Z に対し

R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]ZR(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z

をリーマン曲率テンソルという。[X,Y]=XY−YX[X,Y]=XY-YX はリー括弧（座標基底では 00）。 座標基底 ∂i\partial_i では R(∂i,∂j)∂k=∑lRkijl ∂lR(\partial_i,\partial_j)\partial_k=\sum_l R^l_{kij}\,\partial_l で、RkijlR^l_{kij} は Γ\Gamma とその微分で表される。

−∇[X,Y]Z-\nabla_{[X,Y]}Z の項は、X,YX,Y が座標基底でないときに「X,YX,Y 自身が可換でないぶん」を補正するためのもの （座標基底 ∂i,∂j\partial_i,\partial_j なら [∂i,∂j]=0[\partial_i,\partial_j]=0 で消える）。これを入れることで、R(X,Y)ZR(X,Y)Z は 各点の X,Y,ZX,Y,Z の値だけで決まるテンソルになります（微分の非可換性が、なぜか微分でなく純粋な代数的量になる ——これが「テンソルである」ことの中身）。

定理 $R$ はテンソルである

R(X,Y)ZR(X,Y)Z は X,Y,ZX,Y,Z の各々について関数線形。すなわち R(fX,Y)Z=fR(X,Y)ZR(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z などが成り立ち、pp 点での値は Xp,Yp,ZpX_p,Y_p,Z_p だけで決まる（微分の履歴によらない）。

証明

定義の三項に、共変微分のライプニッツ則 ∇X(fZ)=(Xf)Z+f∇XZ\nabla_X(fZ)=(Xf)Z+f\nabla_XZ を代入して展開すると、ff の微分 (Xf),(Yf)(Xf),(Yf) を含む項が −∇[X,Y]Z-\nabla_{[X,Y]}Z の項の [X,Y]f[X,Y]f とちょうど相殺し、ff 倍の項だけが残る。ゆえに関数線形。 微分項が消えるのが −∇[X,Y]Z-\nabla_{[X,Y]}Z を入れた御利益。∎

曲率テンソルの対称性

RR には美しい対称性があります（計量と両立する接続の場合）。これらは断面曲率やアインシュタイン方程式で本質的。

定理 曲率テンソルの対称性

Rijkl=⟨R(∂k,∂l)∂j,∂i⟩R_{ijkl}=\langle R(\partial_k,\partial_l)\partial_j,\partial_i\rangle と書くと、

  1. 反対称：Rijkl=−Rjikl=−RijlkR_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}。
  2. 対交換：Rijkl=RklijR_{ijkl}=R_{klij}。
  3. 第一ビアンキ恒等式：Rijkl+Riklj+Riljk=0R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0。

これらの対称性のおかげで、nn 次元での曲率テンソルの独立成分は n2(n2−1)12\frac{n^2(n^2-1)}{12} 個に減ります。 22 次元（曲面）ではたった**11 個**——それがガウス曲率 KK です。33 次元で 66 個、44 次元（時空）で 2020 個。 一般相対論はこの 44 次元の曲率を重力として扱います。

断面曲率——ガウス曲率の一般化

高次元では曲率は方向の組（22 次元の面）ごとに値をもちます。接空間内の 22 次元平面を選び、その平面の曲がりを 測るのが断面曲率。これが曲面のガウス曲率をまっすぐ一般化します。

定義 断面曲率

接空間内の一次独立な X,YX,Y が張る 22 次元平面 σ\sigma に対し

Sec(σ)=⟨R(X,Y)Y, X⟩∣X∣2∣Y∣2−⟨X,Y⟩2\mathrm{Sec}(\sigma)=\frac{\langle R(X,Y)Y,\ X\rangle}{|X|^2|Y|^2-\langle X,Y\rangle^2}

を断面曲率という。分母は X,YX,Y が張る平行四辺形の面積の 22 乗（規格化）。

定理 曲面では断面曲率＝ガウス曲率

22 次元曲面では、断面曲率は接平面そのものの曲がりで、ガウス曲率 KK に一致する。

Sec(TpS)=K(p).\mathrm{Sec}(T_pS)=K(p).

これで円環が閉じます。第6章で外在的に定義したガウス曲率 KK、第7章で内在的だと判明した KK、そして いま接続と曲率テンソルから内在的に定義した断面曲率——すべて同じ KK です。曲面のガウス曲率は、リーマン 曲率テンソルという高次元の枠組みの中で、22 次元の断面曲率として自然な居場所を得ました。

注意 平行移動のズレとの関係を回収

前章の「閉じた道を一周した平行移動のズレ」を無限小の平行四辺形（X,YX,Y が張る）で測ると、ちょうど R(X,Y)R(X,Y) が回転を生成する。ズレ角 ≈Sec(σ)×(面積)\approx \mathrm{Sec}(\sigma)\times(\text{面積})。ガウス–ボンネの「角の過剰＝ ∬K\iint K」も、この平行移動のズレの積分版。曲率を測る三つの現れ——角の過剰・平行移動のズレ・曲率テンソル—— がすべて KK で一致する。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 曲率テンソルは「微分の非可換性」。 平らな空間で 00、曲がった空間で非ゼロ。∇X∇Y−∇Y∇X\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X の 差が本質で、−∇[X,Y]-\nabla_{[X,Y]} はテンソル化のための補正。
  • RR はテンソル（各点の値で決まる）。 微分を含む定義なのに、展開すると微分項が消えて各点の代数量になる。 「非可換性という現象が、点ごとの数に凝縮される」のが要点。
  • 断面曲率は 22 平面ごとの量。 高次元では一つの数でなく、選んだ 22 次元平面に依存する。曲面は 22 次元 そのものだから一つの数 KK。
  • Γ\Gamma はテンソルでないが RR はテンソル。 接続係数の非テンソル的な変換のズレが、曲率を作るときに相殺 してテンソルになる。

この章のまとめ

  • リーマン曲率テンソル R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]ZR(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z は、共変微分の順序交換のズレ＝平行移動の道依存性を測る。展開すると微分項が消え、各点で決まるテンソルになる。
  • 反対称・対交換・ビアンキ恒等式の対称性をもち、独立成分は n2(n2−1)12\frac{n^2(n^2-1)}{12} 個（22 次元で 11 個＝KK、44 次元で 2020 個＝一般相対論）。
  • 断面曲率 Sec(σ)\mathrm{Sec}(\sigma) はガウス曲率の高次元一般化で、曲面では KK に一致。第6・7章の KK、平行移動のズレ、ガウス–ボンネがすべて同じ KK で結ばれる。
  • 次章（最終章）では、ここまでの内在幾何を振り返り、計量が接続を一意に定める（レヴィ–チヴィタ）話を通じて、リーマン幾何学と一般相対論への橋を渡します。

最終章では、微分幾何学の全体像を内在幾何の視点で総括し、リーマン幾何学・一般相対論への展望を描きます。