第2章曲率と捩率・フルネ–セレの公式

曲率＝向きの変わる速さ

前章で、弧長パラメータ $s$ （速さ $\equiv1$ ）で走ると、速度 $\gamma'(s)$ が純粋な「向き」を表す単位ベクトルになる、と見ました。この単位接ベクトルを $T(s)=\gamma'(s)$ と書きます。曲線が「急に曲がる」とは、進むにつれて $T$ の向きがすばやく変わること。まっすぐな道では $T$ は一定、きついカーブでは $T$ がくるくる回る。だから曲がり具合は $T$ の変化率 $T'(s)=\gamma''(s)$ の大きさで測れます。

定義曲率

弧長パラメータ表示 $\gamma(s)$ の曲率を

\kappa(s)=|T'(s)|=|\gamma''(s)|

で定める。単位接ベクトル $T=\gamma'$ の回転する速さ。 $\kappa=0$ は「まっすぐ」を意味する。

なぜ $\gamma''$ が曲がりを表し、加速の“強さ”ではないのか。速さが $1$ に固定されているから、 $\gamma''$ には「速くなる/遅くなる」成分が入り込めず、純粋に向きを変える成分だけが残るのです。実際 $|T|^2=1$ を微分すると $T\cdot T'=0$ 、つまり $T'$ は $T$ と直交——加速は必ず「横向き（曲がる向き）」になります。

曲率 $\kappa=|\gamma''|$ は単位接ベクトルの回転速度。速さを $1$ に固定したから、加速度はまるごと「曲がり」を表す。

接触円で曲率を体感する

曲率にはもう一つ、直感的な意味があります。曲線の各点に「最もよくフィットする円」を当てると、その円の半径 $R$ は $R=1/\kappa$ 。急カーブ（ $\kappa$ 大）ほど円は小さく、ゆるいカーブ（ $\kappa$ 小）ほど円は大きく、まっすぐ（ $\kappa=0$ ）なら半径は無限大＝直線になります。この円を接触円（曲率円）、 $R=1/\kappa$ を曲率半径といいます。下で動かしてみましょう。

曲線点 P の位置

点 $P$ を動かすと、接触円と、進む向き $T$ ・曲がる向き $N$ （次に定義）が追従します。楕円なら尖った両端で円が最小（曲率最大）、サインカーブなら変曲点で円が消える（ $\kappa=0$ ）。「曲率＝接触円の半径の逆数」という感覚をここで掴んでおくと、以降の式がぜんぶ絵として読めます。

フルネ標構——曲線に張りつく座標系

曲がりを完全に記述するには、曲線の各点に動く座標系を立てるのが強力です。進む向き $T$ 、曲がる向き $N$ 、そして（空間曲線では）それらに直交する $B$ 。この三本組を曲線に沿って持ち運びます。

定義フルネ標構（TNB）

$\kappa>0$ の空間曲線に対し、

T=\gamma',\qquad N=\frac{T'}{|T'|}=\frac{T'}{\kappa},\qquad B=T\times N

を単位接ベクトル・主法線・従法線といい、正規直交な三本組 $\{T,N,B\}$ をフルネ標構という。 $N$ の張る向きは「曲がっていく側」、 $B$ は曲線が乗る平面（ $T,N$ の張る接触平面）の法線。

$T\cdot T'=0$ より $N\perp T$ 、 $B=T\times N$ は両者に直交。だから $\{T,N,B\}$ は各点で $\mathbb R^3$ の正規直交基底になります。曲線に貼りついて一緒に動く「機上の座標系」だと思ってください。パイロットにとっての機首（ $T$ ）・翼（ $N$ ）・天井（ $B$ ）。

捩率——平面からの浮き上がり

平面曲線なら $T,N$ だけで足ります。空間曲線で新しく現れるのが、接触平面からどれだけ捻れて浮き上がるか。 $B$ が回転する速さがそれを測ります。 $B$ の変化を調べると、 $B'$ は $N$ 方向を向くことが分かり、その大きさを捩率と呼びます。

定義捩率

$B'(s)=-\tau(s)\,N(s)$ で定まる $\tau$ を捩率という。 $\tau$ は曲線が接触平面から捻れて立体的にねじれる度合い。 $\tau\equiv0$ は「曲線が一枚の平面に乗っている」ことと同値。

$B'\parallel N$ となるのは： $B\cdot B=1$ より $B'\perp B$ 、かつ $B=T\times N$ を微分して $T$ 成分が消えるから（下の証明で確認）。曲率 $\kappa$ が「面内でどれだけ曲がるか」、捩率 $\tau$ が「面からどれだけ捻れるか」——この二つで空間曲線の形は言い尽くせます（次章の基本定理）。

フルネ–セレの公式

三本組 $T,N,B$ の変化率を、 $T,N,B$ 自身で表す。これがフルネ–セレの公式です。

定理フルネ–セレの公式

弧長パラメータのもとで

\begin{aligned} T' &= \phantom{-}\kappa N,\\ N' &= -\kappa T \phantom{{}+\kappa N} + \tau B,\\ B' &= \phantom{-\kappa T} -\tau N. \end{aligned}

行列で書けば $\dfrac{d}{ds}\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix}$ 。係数行列が反対称なのがポイント。

証明

$T'=\kappa N$ は $N$ の定義そのもの。 $B'=-\tau N$ は捩率の定義。残りは $N=B\times T$ を微分して $N'=B'\times T+B\times T'=(-\tau N)\times T+B\times(\kappa N)=-\tau(N\times T)+\kappa(B\times N)$ 。正規直交右手系の外積関係 $N\times T=-B,\ B\times N=-T$ を使うと $N'=\tau B-\kappa T$ 。∎ （ $B'$ が $N$ 方向のみになる根拠： $B'\perp B$ かつ $B\cdot T=0$ を微分し $B'\cdot T=-B\cdot T'=-\kappa\,B\cdot N=0$ ゆえ $B'\perp T$ 。よって $B'\parallel N$ 。）

係数行列が反対称なのは偶然ではありません。 $\{T,N,B\}$ が正規直交であり続ける（長さ $1$ ・互いに直交を保つ）ことが、変化率の行列を反対称にします——「正規直交系の回転は反対称行列で生成される」という、線形代数の回転（歪対称行列）と同じ構造。フルネ標構は $\kappa,\tau$ に導かれて回転する剛体なのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

曲率 $\kappa$ は「加速の強さ」ではなく「向きの変化率」。 弧長パラメータ（速さ $1$ ）だからこそ $\gamma''$ が純粋な曲がりになる。一般パラメータの $|\gamma''|$ を曲率と勘違いしない。
$N$ は $\kappa>0$ でしか定義されない。 直線（ $\kappa=0$ ）では $T'=0$ で「曲がる向き」が定まらず、 $N,B$ が決まらない。フルネ標構は $\kappa>0$ が前提。
$\kappa\ge0$ （大きさ）、 $\tau$ は符号つき。 空間曲線の曲率は絶対値。捩率は右ねじ/左ねじの向きを持つので符号あり。平面曲線では「符号つき曲率」を使う流儀もある（次章）。
$\tau=0\iff$ 平面曲線。 捩率ゼロは「接触平面が動かない＝一枚の平面に乗る」。捩率は立体性の指標。

この章のまとめ

曲率 $\kappa=|\gamma''|$ は単位接ベクトル $T$ の回転速度。接触円の半径 $R=1/\kappa$ で可視化できる（急カーブほど小さい円）。
曲線に張りつく正規直交なフルネ標構 $\{T,N,B\}$ （進む・曲がる・捻れの法線）を立てる。
捩率 $\tau$ は接触平面からの捻れ（ $\tau=0$ が平面曲線）。
フルネ–セレの公式 $T'=\kappa N,\ N'=-\kappa T+\tau B,\ B'=-\tau N$ ：標構の回転を $\kappa,\tau$ が支配し、係数行列は反対称（剛体回転の構造）。
次章では、この $\kappa,\tau$ が曲線を（位置・向きの違いを除いて）完全に決めてしまうこと（曲線論の基本定理）と、平面曲線の大域的な性質を見ます。

次章では、曲率と捩率が曲線を一意に定める「曲線論の基本定理」と、平面曲線の回転数・全曲率という大域量を扱います。

第2章 曲率と捩率・フルネ–セレの公式