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第3章 曲線論の基本定理と平面曲線

曲率と捩率は、曲線の「遺伝子」

前章で曲率 κ\kappa と捩率 τ\tau を手に入れました。ここで自然な問いが立ちます——この二つの関数を決めたら、 曲線は一本に決まるのか？ 直感的には「各点でどれだけ曲がり（κ\kappa）、どれだけ捻れる（τ\tau）かを指定すれば、 あとは組み立てるだけで形が決まりそう」。この直感は正しく、しかも証明できます。曲率と捩率は、曲線の形を 完全に符号化する遺伝子なのです（位置と向きの違いを除いて）。

κ(s),τ(s)\kappa(s),\tau(s) を与えれば、曲線は合同（回転・平行移動）を除いて一意に決まる。曲がりと捻れが形の全情報。

曲線論の基本定理

定理 曲線論の基本定理

なめらかな関数 κ(s)>0\kappa(s)>0 と τ(s)\tau(s) が与えられると、それを曲率・捩率にもつ弧長パラメータ表示の空間曲線が 存在し、それは剛体運動（回転＋平行移動）を除いて一意である。

証明の心臓は、フルネ–セレの公式が線形常微分方程式だという事実です。微分方程式の存在と一意性 （ピカール–リンデレフ）が、そのまま曲線の存在と一意性に翻訳されます。

証明

フルネ–セレの公式

dds(TNB)=A(s)(TNB),A(s)=(0κ0−κ0τ0−τ0)\frac{d}{ds}\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix}=A(s)\begin{pmatrix}T\\N\\B\end{pmatrix},\quad A(s)=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}

を、初期条件「s0s_0 で {T,N,B}=\{T,N,B\}= 標準正規直交基底」のもとで解く。A(s)A(s) は連続なので、線形ODEの 存在一意性定理より解 {T(s),N(s),B(s)}\{T(s),N(s),B(s)\} が一意に存在する。

正規直交性の保存：M(s)M(s) を行ベクトル T,N,BT,N,B を並べた行列とすると M′=AMM'=AM。AA が反対称なので dds(MM⊤)=M′M⊤+M(M′)⊤=AMM⊤+MM⊤A⊤=A(MM⊤)−(MM⊤)A\frac{d}{ds}(MM^\top)=M'M^\top+M(M')^\top=AMM^\top+MM^\top A^\top=A(MM^\top)-(MM^\top)A。 MM⊤=IMM^\top=I（初期条件）はこの方程式の解で、一意性より MM⊤≡IMM^\top\equiv I——つまり {T,N,B}\{T,N,B\} は常に正規直交。 （ここで AA の反対称性が本質的に効く。）

曲線の復元：γ(s)=γ(s0)+∫s0sT(u) du\gamma(s)=\gamma(s_0)+\int_{s_0}^s T(u)\,du とすれば γ′=T\gamma'=T、∣T∣=1|T|=1 で弧長パラメータ、 T′=κNT'=\kappa N より曲率 κ\kappa、B′=−τNB'=-\tau N より捩率 τ\tau をもつ曲線が得られる。

一意性：別の初期標構は、正規直交基底どうしなので回転行列 QQ で移り合う。線形性から解全体も QQ で移り、 γ\gamma の始点の差は平行移動。ゆえに剛体運動を除いて一意。∎

この定理は、前章で「κ,τ\kappa,\tau が反対称行列を作る」と強調した理由を回収します。反対称性こそが、標構の 正規直交性を保ち、κ,τ\kappa,\tau を“正しい”不変量にしている。κ,τ\kappa,\tau を指定する→ODEを解く→曲線が出る、 という流れは、曲率捩率が曲線の完全な設計図であることの証明そのものです。

例 定曲率・定捩率＝らせん

κ,τ\kappa,\tau をともに定数にすると、基本定理の曲線は円柱らせんになる。τ=0,κ=\tau=0,\kappa= 定数なら円、 κ=0\kappa=0 なら直線。「一定の曲がりと一定の捻れ」で走り続ける唯一の曲線がらせん——DNA の二重らせんが まさにこれ。κ,τ\kappa,\tau を関数にすれば、あらゆる曲線が作れる。

平面曲線：符号つき曲率

平面（R2\mathbb R^2）の曲線に話を絞ると、捩率は消え（τ≡0\tau\equiv0）、代わりに曲率に符号を付けられます。 向きを決めておけば「左に曲がる」か「右に曲がる」かを区別できるからです。

定義 符号つき曲率

平面の弧長曲線で、TT を +90∘+90^\circ 回した単位法線を NN とする。T′=κsNT'=\kappa_s N で定まる κs\kappa_s（符号つき）を 符号つき曲率という。左に曲がるとき κs>0\kappa_s>0、右で κs<0\kappa_s<0。∣κs∣|\kappa_s| が通常の曲率。

T(s)=(cos⁡θ(s),sin⁡θ(s))T(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s)) と接線の角度 θ(s)\theta(s) で書くと、κs=θ′(s)\kappa_s=\theta'(s)。符号つき曲率は 接線の向く角度の変化率そのもの。この見方が、次の大域的な話につながります。

全曲率と回転数——曲率の“積分”が語る大域

各点の曲率（局所的な量）を曲線全体で積分すると、意外にも位相的・大域的な量が現れます。これは微分幾何の 大きなテーマ「局所を積分すると大域が見える」（ガウス–ボンネ、第9章）の最初の芽です。

定理 閉平面曲線の回転数定理（ホップの定理）

なめらかで単純（自分と交わらない）な閉平面曲線の符号つき曲率を一周ぶん積分すると

∫0Lκs ds=∫0Lθ′ ds=2π (±1).\int_0^L \kappa_s\,ds=\int_0^L\theta'\,ds=2\pi\,(\pm 1).

すなわち接線ベクトルは一周でちょうど1回転する。この整数を回転数という。

接線の角度 θ\theta の総変化 ∫θ′ds\int\theta'ds が「接線が何回転したか」×2π\times2\pi。単純閉曲線なら回転数は ±1\pm1 （向きで符号）というのがホップの定理です。円でも複雑なアメーバ形でも、自己交差しない一周なら接線はきっちり 11 回転——曲線をどう歪めても変わらない不変量。連続変形で保たれる整数、という点で位相的です。

注意 局所の積分が大域の整数を生む

κs\kappa_s は各点の「曲がり具合」という純粋に局所的・幾何的な量。ところがそれを一周積分すると、2π×2\pi\times整数 という**位相的な量（回転数）**になる。「なめらかな幾何（曲率）」と「かたい位相（整数）」の橋渡し——この構図は 第9章のガウス–ボンネ ∫MK dA=2πχ(M)\int_M K\,dA=2\pi\chi(M) で頂点に達する。いまはその予告編。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 基本定理の一意性は「合同を除いて」。 同じ κ,τ\kappa,\tau をもつ曲線は無数にある（平行移動・回転した分だけ）。 でも形は同じ。「一意」とは「形が一つに決まる」の意味。
  • 反対称性は飾りではない。 フルネ係数行列の反対称性が、標構の正規直交性を保存し、基本定理を成立させる。 ここが崩れると T,N,BT,N,B が直交でなくなり理論が壊れる。
  • 符号つき曲率は平面曲線だけ。 空間曲線の曲率は κ≥0\kappa\ge0。平面では法線の向きを固定できるから符号が付く。
  • 回転数は「大域」量。 一点の曲率ではなく、一周の積分で初めて現れる。単純閉曲線で必ず ±1\pm1 になるのは 自己交差しないから（交差すると回転数は他の整数になりうる）。

この章のまとめ

  • 曲線論の基本定理：κ(s),τ(s)\kappa(s),\tau(s) を与えれば曲線は剛体運動を除いて一意に決まる。証明はフルネ–セレ（線形ODE）の存在一意性＋反対称性による正規直交性の保存。定曲率・定捩率はらせん。
  • 平面曲線では捩率が消え、符号つき曲率 κs=θ′\kappa_s=\theta'（接線角の変化率）が使える。
  • 曲率を一周積分すると位相的な回転数（単純閉曲線で ±1\pm1、ホップの定理）が現れる——「局所の積分が大域の整数を生む」第一歩、ガウス–ボンネの予告編。
  • 曲線論はここで一区切り。次章から曲面へ。まず曲面の上で長さや角度を測る物差し——第一基本形式（計量）を導入します。

次章では、曲面を正則にパラメータ表示し、接平面を張り、面上で長さ・角度・面積を測る第一基本形式を作ります。