第4章曲面と第一基本形式

曲線から曲面へ：パラメータが2つになる

曲線は $1$ 本のパラメータ $t$ で動く点でした。曲面は** $2$ 本のパラメータ** $(u,v)$ で動く点——地図の緯度・経度のように、二つの数で面上の位置を指定します。地球儀に緯線・経線を引くのと同じ発想です。

定義正則曲面（パラメータ表示）

開集合 $D\subseteq\mathbb R^2$ から $\mathbb R^3$ への $C^\infty$ 写像 $\bm x(u,v)$ が、各点で偏微分 $\bm x_u=\partial\bm x/\partial u$ と $\bm x_v=\partial\bm x/\partial v$ が一次独立（ $\bm x_u\times\bm x_v\ne\bm 0$ ）であるとき、その像を正則曲面片という。 $\bm x$ を局所座標（パラメータ表示）という。

$\bm x_u,\bm x_v$ は「 $u$ を動かす向き」「 $v$ を動かす向き」の速度ベクトル。これらが一次独立であることが、面がその点で $2$ 次元的に広がっている（つぶれていない）条件です。曲線の「正則性 $\gamma'\ne0$ 」の曲面版。

例はじめの曲面

平面 $\bm x(u,v)=\bm p+u\bm a+v\bm b$ （ $\bm a,\bm b$ 一次独立）。
球面 $\bm x(u,v)=(\cos u\cos v,\ \cos u\sin v,\ \sin u)$ （ $u$ が緯度、 $v$ が経度）。
グラフ曲面 $\bm x(u,v)=(u,v,f(u,v))$ ：関数 $f$ のグラフ。 $\bm x_u=(1,0,f_u),\bm x_v=(0,1,f_v)$ は常に一次独立。

接平面：曲面を「その点で平らに近似する」

曲線に接線があったように、曲面には接平面があります。 $\bm x_u,\bm x_v$ が張る平面が、その点で曲面にぴったり寄り添う $2$ 次元の平面です。

定義接平面・法線

点 $p=\bm x(u_0,v_0)$ での接平面 $T_pS$ は $\bm x_u,\bm x_v$ の張る $2$ 次元部分空間。これに直交する単位ベクトル

\bm n=\frac{\bm x_u\times\bm x_v}{|\bm x_u\times\bm x_v|}

を単位法線ベクトルという。

接平面上のベクトル（接ベクトル）は、すべて $a\bm x_u+b\bm x_v$ の形。面の上を動く曲線の速度は必ず接平面に乗ります。だから「面の上の幾何」は、この接平面上のベクトルの長さや角度をどう測るかで決まる——それが次の第一基本形式です。

第一基本形式：面の上の物差し

面の上に住むアリになったつもりで考えましょう。アリは $3$ 次元空間を見ず、面の上の距離しか測れない。パラメータ $(u,v)$ が少し $(du,dv)$ 動いたとき、面上で実際に進む距離はいくらか。接ベクトル $d\bm x=\bm x_u\,du+\bm x_v\,dv$ の長さの $2$ 乗を計算すると、

|d\bm x|^2=(\bm x_u\,du+\bm x_v\,dv)\cdot(\bm x_u\,du+\bm x_v\,dv)=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2.

この $E,F,G$ が、面の上のすべての測定（長さ・角度・面積）を司ります。

定義第一基本形式

E=\bm x_u\cdot\bm x_u,\quad F=\bm x_u\cdot\bm x_v,\quad G=\bm x_v\cdot\bm x_v

を第一基本量、 $\mathrm I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$ を第一基本形式（計量）という。これは接平面上の内積 $\langle\bm a,\bm b\rangle=\bm a\cdot\bm b$ を $(u,v)$ 座標で表した係数（対称行列 $\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$ ）にほかならない。

第一基本形式さえ分かれば、面の上の幾何がすべて計算できます。

定理第一基本形式で測れるもの

曲線の長さ：面上の曲線 $(u(t),v(t))$ の長さは $\displaystyle\int\sqrt{E u'^2+2F u'v'+G v'^2}\,dt$ 。
交わる角度：二つの接ベクトルのなす角は $\cos\theta=\dfrac{\langle\bm a,\bm b\rangle}{|\bm a||\bm b|}$ を $E,F,G$ で表して計算。
面積： $\displaystyle\iint_D |\bm x_u\times\bm x_v|\,du\,dv=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$ 。

証明

面積の式だけ確認する。ラグランジュの恒等式 $|\bm x_u\times\bm x_v|^2=|\bm x_u|^2|\bm x_v|^2-(\bm x_u\cdot\bm x_v)^2 =EG-F^2$ 。よって面積要素は $\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$ 。長さ・角は内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ の定義から直ちに。∎

例球面の計量

半径 $1$ の球面 $\bm x=(\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u)$ で計算すると $E=1,\ F=0,\ G=\cos^2 u$ 。第一基本形式は $\mathrm I=du^2+\cos^2u\,dv^2$ 。緯度 $u$ が高い（極に近い）ほど $\cos^2u$ が小さく、経度方向の実距離が縮む——地図で極付近が引き伸ばされる理由がこの計量に表れている。

内在的量という考え方——ここが微分幾何の分水嶺

第一基本形式は「面の上のアリが測れる量」だけで決まっています。 $3$ 次元空間にどう埋まっているかを見なくても、面の上の距離を測るだけで $E,F,G$ が分かる。こういう量を内在的（intrinsic）といいます。逆に、面が空間の中でどう曲がって埋まっているかに依存する量を外在的（extrinsic）といいます。

注意内在的 vs 外在的——第7章への伏線

第一基本形式 $E,F,G$ は内在的。一方、次章の第二基本形式（法線方向への曲がり）は、面が空間でどう反るかを見るので外在的に見える。ところが第7章で衝撃の事実が待つ——曲がり具合の本質（ガウス曲率）は、外在的に定義したのに実は内在的に決まる（ガウスの驚異の定理）。「アリは自分の世界の距離を測るだけで、宇宙から見た曲がりを知る」。この対比を今から意識しておくと、驚異の定理の衝撃が倍になる。

平面を筒（円柱）に丸めても、紙の上の距離は変わりません（破らず曲げただけ）。だから平面と円柱は第一基本形式が同じ＝内在的には同一。でも空間での見た目（外在的な曲がり）は違う。第一基本形式は「破らずに曲げても変わらない情報」を捉えているのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

第一基本形式は「計量＝内積の座標表示」。 新しい謎の量ではなく、接平面の内積を $(u,v)$ 座標で書いた $\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$ 。長さ・角度・面積の全部の源。
$E,F,G$ はパラメータの取り方に依存する。 座標を変えれば $E,F,G$ は変わる。でも「長さ」など測定結果は不変。座標依存の係数と、座標によらない幾何を区別する。
$EG-F^2>0$ が正則性。 これは $\bm x_u\times\bm x_v\ne0$ と同値（面がつぶれていない）。面積要素 $\sqrt{EG-F^2}$ が正であることを保証。
内在的と外在的を混同しない。 第一基本形式は内在的（面上で測れる）。空間への埋め込み方に依らない情報だけを持つ。次章の第二基本形式は逆。

この章のまとめ

曲面は $2$ パラメータ $\bm x(u,v)$ で表し、 $\bm x_u,\bm x_v$ が一次独立（正則）で接平面を張る。法線は $\bm n=\bm x_u\times\bm x_v/|\cdots|$ 。
第一基本形式 $\mathrm I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$ （ $E,F,G=\bm x_u\!\cdot\!\bm x_u,\ \bm x_u\!\cdot\!\bm x_v,\ \bm x_v\!\cdot\!\bm x_v$ ）は接平面の内積の座標表示。これだけで面上の長さ・角度・面積が測れる。
第一基本形式は内在的（面上で測れる、破らず曲げても不変）。空間での埋まり方を見る外在的な量との対比が、驚異の定理（第7章）の伏線。
次章では、面が空間の中でどう反り返るかを測る第二基本形式（法線方向への曲がり）を導入し、法曲率を定義します。

次章では、単位法線の動き（ガウス写像）を通して、面の外在的な曲がり——第二基本形式と法曲率——を捉えます。