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第5章 ガウス写像と第二基本形式

曲面の「曲がり」はどこに現れるか

前章の第一基本形式は、面の上の距離を測る物差しでした。でもそれは「面を平らに広げたときの測り方」で、 面が空間の中でどう反り返っているか——ボールのように膨らむのか、鞍のように反るのか——は捉えていません。 平面も円柱も第一基本形式は同じでしたね。曲面の「外から見た曲がり」を測る新しい道具が要ります。

鍵は法線ベクトル n\bm n の動きです。平らな面なら、どこでも法線は同じ向きを指す。曲がった面なら、 場所ごとに法線の向きが変わる。だから「動くにつれて法線がどれだけ向きを変えるか」が曲がりを教えてくれます。 これは第2章で曲線の曲率を「接ベクトル TT の回転速度」で測ったのと完全に同じ発想です。

面の曲がり＝進むにつれて法線 n\bm n の向きがどれだけ変わるか。曲線で TT の回転を見たのと同じ手を、面で n\bm n に使う。

ガウス写像

法線ベクトルは単位ベクトルなので、その先端は必ず単位球面 S2S^2 上にあります。面の各点に、その点の法線の 向き（S2S^2 上の点）を対応させる——これがガウス写像です。

定義 ガウス写像

向き付けられた曲面 SS の各点 pp に、単位法線 n(p)∈S2\bm n(p)\in S^2 を対応させる写像

N:S→S2,p↦n(p)\bm N:S\to S^2,\qquad p\mapsto \bm n(p)

をガウス写像という。

ガウス写像がどれだけ「速く動くか」が、面の曲がりの度合い。平面ではガウス写像は一点に潰れる（法線が動かない）。 球面では面全体を法線がまんべんなく指すのでガウス写像は S2S^2 を覆う。この「法線の動き」を微分で捉えます。

定義 ワインガルテン写像（形作用素）

ガウス写像の微分 dNp:TpS→TnS2d\bm N_p:T_pS\to T_{\bm n}S^2 を考える。TnS2T_{\bm n}S^2 は n\bm n に直交する平面で、これは TpST_pS と同一視できる（どちらも n\bm n に直交）。そこで

Sp=−dNp:TpS→TpSS_p=-d\bm N_p:T_pS\to T_pS

をワインガルテン写像（形作用素）という。接平面から接平面への線形写像。

マイナス符号は、後で「膨らむ側を正の曲率」とする慣習に合わせるための約束です。SpS_p は「接ベクトル方向に 進んだとき、法線がどう傾くか」を表す線形写像。これが曲面の曲がりの本体です。

第二基本形式：法線方向への曲がり

面の上を接ベクトル方向に進むと、面は法線方向へ反っていく。その反りの量を測るのが第二基本形式です。 定義は「法線の動き」を接平面の内積で測る形になります。

定義 第二基本形式

接ベクトル w∈TpS\bm w\in T_pS に対し

II(w,w)=⟨Spw, w⟩=−⟨dNp(w), w⟩\mathrm{II}(\bm w,\bm w)=\langle S_p\bm w,\ \bm w\rangle=-\langle d\bm N_p(\bm w),\ \bm w\rangle

を第二基本形式という。xu,xv\bm x_u,\bm x_v を基底に係数を

L=xuu⋅n,M=xuv⋅n,N=xvv⋅nL=\bm x_{uu}\cdot\bm n,\quad M=\bm x_{uv}\cdot\bm n,\quad N=\bm x_{vv}\cdot\bm n

とおくと II=L du2+2M du dv+N dv2\mathrm{II}=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2。

係数の形 L=xuu⋅nL=\bm x_{uu}\cdot\bm n に注目してください。二階微分 xuu\bm x_{uu}（面の反り）を法線方向へ射影したもの。 「面がどれだけ法線側へ加速するか」＝反りの量です。M=xuv⋅nM=\bm x_{uv}\cdot\bm n の n\bm n が入るぶん、これは 外在的（法線＝空間への埋まり方に依存）な量——前章の内在的な第一基本形式と対をなします。

注意 なぜ $L=\bm x_{uu}\cdot\bm n$ が $-d\bm N$ と一致するか

n⋅xu=0\bm n\cdot\bm x_u=0（法線は接ベクトルに直交）を uu で微分すると nu⋅xu+n⋅xuu=0\bm n_u\cdot\bm x_u+\bm n\cdot\bm x_{uu}=0、 つまり xuu⋅n=−nu⋅xu=−dN(xu)⋅xu\bm x_{uu}\cdot\bm n=-\bm n_u\cdot\bm x_u=-d\bm N(\bm x_u)\cdot\bm x_u。二つの定義（二階微分の射影と 法線微分）が一致する。MM も同様。だから第二基本形式は「面の反り」と「法線の動き」の両面から書ける。

法曲率——面上の曲線の曲率の“縦成分”

第二基本形式の幾何的意味を、曲線に引き戻して掴みましょう。面上を単位接ベクトル w\bm w の向きに走る曲線を考え、 その曲率のうち法線方向の成分を取り出したものが法曲率です。

定義 法曲率

単位接ベクトル w∈TpS\bm w\in T_pS 方向の法曲率を

κn(w)=II(w,w)=⟨Spw,w⟩\kappa_n(\bm w)=\mathrm{II}(\bm w,\bm w)=\langle S_p\bm w,\bm w\rangle

で定める。面上を w\bm w 方向に走る曲線の曲率ベクトル γ′′\gamma'' を法線 n\bm n に射影した値 κn=γ′′⋅n\kappa_n=\gamma''\cdot\bm n に等しい（ムニエの定理）。

つまり、面上を進む曲線の「曲がり」は二つに分かれます——面が空間で反っているせいの曲がり（法曲率 κn\kappa_n、 法線方向）と、面の上で経路が曲がっているせいの曲がり（測地的曲率 κg\kappa_g、接平面内、第8章）。法曲率は 「面そのものの反り」だけを取り出した量で、進む方向 w\bm w ごとに値が変わります。

例 円柱の法曲率

半径 rr の円柱面。円周方向に進むと法曲率 1/r1/r（円のように曲がる）、母線（まっすぐな縦）方向に進むと 法曲率 00（まっすぐ）。方向によって 00 から 1/r1/r まで変わる。「方向ごとに曲がりが違う」——だから曲面の曲率は 一つの数では足りず、方向の関数になる。この方向依存性を次章で主曲率として整理する。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 第一基本形式（内在的）と第二基本形式（外在的）は役割が違う。 第一＝面上の距離、第二＝空間への反り。 記号 L,M,NL,M,N が第一の E,F,GE,F,G と対になる。混同しない（NN は第二基本量、第一の GG とは別物）。
  • 法曲率は方向 w\bm w に依存する。 曲面の「曲率」は一つの数ではない。方向ごとに κn\kappa_n が変わる。この事実が 主曲率・ガウス曲率（次章）の出発点。
  • ワインガルテン写像は接平面上の線形写像。 ガウス写像の像は S2S^2 だが、その微分は TpST_pS から TpST_pS への 写像とみなせる（両接平面が n⊥\bm n\perp で一致）。この同一視が鍵。
  • 法曲率と曲線の曲率は別。 面上の曲線の曲率 κ\kappa のうち、法線方向成分だけが κn\kappa_n。残りは接平面内の 測地的曲率。ムニエの定理がこの分解を言う。

この章のまとめ

  • 曲面の外在的な曲がりは、法線 n\bm n の動き（ガウス写像 N:S→S2\bm N:S\to S^2）で捉える。曲線で接線 TT の回転を見たのと同じ発想。
  • その微分 Sp=−dNpS_p=-d\bm N_p（ワインガルテン写像／形作用素）が接平面上の線形写像として曲がりを表す。
  • 第二基本形式 II=L du2+2M du dv+N dv2\mathrm{II}=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2（L=xuu ⁣⋅ ⁣nL=\bm x_{uu}\!\cdot\!\bm n 等）は法線方向への反り。外在的な量。
  • 法曲率 κn(w)=II(w,w)\kappa_n(\bm w)=\mathrm{II}(\bm w,\bm w) は方向ごとに変わる面の反り（ムニエの定理）。方向依存性が次章の主題。
  • 次章では、方向を変えたとき法曲率が最大・最小になる方向（主方向）と値（主曲率）を求め、ガウス曲率・平均曲率を定義します。

次章では、ワインガルテン写像の固有値＝主曲率を通して、ガウス曲率 KK と平均曲率 HH を定義し、面の点の分類を行います。