⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第6章 主曲率・ガウス曲率・平均曲率

方向で変わる曲がりを、二つの数に集約する

前章で、面上の法曲率 κn(w)\kappa_n(\bm w) は進む方向 w\bm w ごとに変わると分かりました。円柱なら 00 から 1/r1/r まで。 すると「この面の曲がりは？」と一言で答えるには、方向ごとの値をどう要約すればいいでしょう。自然なのは 最大と最小を取ること。いちばん強く曲がる方向と、いちばん緩い方向。この二つが、面の曲がりの骨格です。

法曲率は κn(w)=⟨Spw,w⟩\kappa_n(\bm w)=\langle S_p\bm w,\bm w\rangle という、ワインガルテン写像 SpS_p（対称な線形写像）が作る 二次形式でした。「単位ベクトル上での二次形式の最大・最小」——これは線形代数で学んだ、 対称行列の固有値問題そのものです。曲面の曲がりが、行列の固有値に化ける。

方向ごとの法曲率の最大・最小＝主曲率。それはワインガルテン写像（対称）の固有値。曲面の曲がりが固有値問題になる。

主曲率と主方向

定義 主曲率・主方向

ワインガルテン写像 SpS_p は（第一基本形式に関して）対称なので、実固有値 κ1≥κ2\kappa_1\ge\kappa_2 と、互いに直交する 固有ベクトルをもつ。この固有値 κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 を主曲率、対応する固有方向を主方向という。

定理 オイラーの定理

主方向を基準に測った方向 w\bm w が主方向 e1\bm e_1 となす角を θ\theta とすると、法曲率は

κn(θ)=κ1cos⁡2θ+κ2sin⁡2θ.\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta.

とくに κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 は法曲率の最大値・最小値で、主方向で達成される。

証明

w=cos⁡θ e1+sin⁡θ e2\bm w=\cos\theta\,\bm e_1+\sin\theta\,\bm e_2（正規直交固有ベクトル）とすると Spei=κieiS_p\bm e_i=\kappa_i\bm e_i より κn=⟨Spw,w⟩=κ1cos⁡2θ+κ2sin⁡2θ\kappa_n=\langle S_p\bm w,\bm w\rangle=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta。θ\theta で微分して極値を求めると θ=0\theta=0（κ1\kappa_1）と θ=π/2\theta=\pi/2（κ2\kappa_2）。∎

オイラーの定理は美しい要約です。たった二つの数 κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 が、全方向の曲がりを決める。円柱なら κ1=1/r\kappa_1=1/r（円周方向）、κ2=0\kappa_2=0（母線方向）で、あいだの方向は cos⁡2θ\cos^2\theta で補間される。方向という 連続無限の情報が、二つの固有値に凝縮されるのです。

ガウス曲率と平均曲率

二つの主曲率から、二通りの代表的な組み合わせを作ります。積と平均。それぞれが深い意味を持ちます。

定義 ガウス曲率・平均曲率

K=κ1κ2=det⁡Sp(<Term>ガウス曲率</Term>),H=κ1+κ22=12tr⁡Sp(<Term>平均曲率</Term>).K=\kappa_1\kappa_2=\det S_p\quad(\text{<Term>ガウス曲率</Term>}),\qquad H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac12\operatorname{tr}S_p\quad(\text{<Term>平均曲率</Term>}).

第一・第二基本量では K=LN−M2EG−F2,H=EN−2FM+GL2(EG−F2)\displaystyle K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\quad H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}。

KK は固有値の積＝行列式、HH は平均＝トレースの半分。線形代数の不変量（det⁡,tr⁡\det,\operatorname{tr}）が、そのまま 曲面の幾何量になっています。二つは性格が違います。

  • ガウス曲率 KK は、面の「内在的な曲がり」を捉える（第7章の驚異の定理で判明）。KK の符号が面の形を分類。
  • 平均曲率 HH は外在的で、H≡0H\equiv0 の面は極小曲面（石鹸膜の形、面積最小）。

ガウス曲率の符号で面を分類する

K=κ1κ2K=\kappa_1\kappa_2 の符号が、その点での面の形を決めます。二つの主曲率が同符号か、逆符号か、片方ゼロか。

定義 点の分類

  • K>0K>0（κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 同符号）：楕円的点。お椀・ドームのように一方向に膨らむ。面は接平面の片側に。
  • K<0K<0（異符号）：双曲的点。鞍（サドル）。ある方向は上に、直交方向は下に反る。接平面が面を貫く。
  • K=0K=0（少なくとも一方が 00）：放物的点。円柱のように一方向だけ曲がり、他方向はまっすぐ。

例 三つの標準例

  • 球面（半径 rr）：κ1=κ2=1/r\kappa_1=\kappa_2=1/r、K=1/r2>0K=1/r^2>0。どこも楕円的。全方向に同じく膨らむ。
  • 円柱（半径 rr）：κ1=1/r,κ2=0\kappa_1=1/r,\kappa_2=0、K=0K=0。放物的。丸めた紙。
  • 鞍面（z=x2−y2z=x^2-y^2 の原点）：κ1>0>κ2\kappa_1>0>\kappa_2、K<0K<0。双曲的。ポテトチップスの形。

これは直感とよく合います。ボールの表面はどこもお椀型（K>0K>0）、缶の側面は一方向だけ丸い（K=0K=0）、峠の鞍部は 反り返る（K<0K<0）。ガウス曲率の符号は、面の“膨らみか反りか”を数で言い当てているのです。

注意 ここまで外在的、でも次章で反転する

主曲率 κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 はワインガルテン写像（法線の動き＝外在的）から定義した。だから K=κ1κ2K=\kappa_1\kappa_2 も 一見外在的——面が空間でどう反るかに依存するはず。ところが次章のガウスの驚異の定理が「KK は第一基本形式 （内在的）だけで決まる」と告げる。κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2 個々は外在的なのに、その積だけは内在的。これが微分幾何 最大の驚き。H=(κ1+κ2)/2H=(\kappa_1+\kappa_2)/2 は外在的なまま（円柱と平面で HH が違う）——積と和で運命が分かれる。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 曲面の曲率は一つの数ではない。 方向ごとに法曲率が違う。要約が主曲率 κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2。そこから K,HK,H を作る。
  • KK は積、HH は平均。 K=κ1κ2K=\kappa_1\kappa_2（符号が形を決める）、H=(κ1+κ2)/2H=(\kappa_1+\kappa_2)/2（極小曲面で 00）。役割が全く違う。
  • K=0K=0 は「平ら」ではなく「一方向だけ平ら」。 円柱は K=0K=0 だが曲がっている（κ1≠0\kappa_1\ne0）。K=0K=0 は 放物的（片方の主曲率が 00）の意味。
  • 主方向は直交する。 対称作用素の固有ベクトルだから。ただし κ1=κ2\kappa_1=\kappa_2（臍点、球面など）では 全方向が主方向になり、方向が定まらない。

この章のまとめ

  • 方向で変わる法曲率の最大・最小が主曲率 κ1,κ2\kappa_1,\kappa_2＝ワインガルテン写像（対称）の固有値。全方向はオイラーの定理 κn=κ1cos⁡2θ+κ2sin⁡2θ\kappa_n=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta で補間される。
  • ガウス曲率 K=κ1κ2=det⁡SK=\kappa_1\kappa_2=\det S、平均曲率 H=(κ1+κ2)/2=12tr⁡SH=(\kappa_1+\kappa_2)/2=\frac12\operatorname{tr}S。線形代数の det⁡,tr⁡\det,\operatorname{tr} が幾何量に。
  • KK の符号で点を分類：K>0K>0 楕円的（ドーム）、K<0K<0 双曲的（鞍）、K=0K=0 放物的（円柱）。
  • 主曲率は外在的だが、その積 KK だけは実は内在的——次章のガウスの驚異の定理で判明する。
  • 次章は本分野のハイライト。KK が第一基本形式だけで決まること（Theorema Egregium）を示し、「面の内側だけで曲率が分かる」ことの意味を掘り下げます。

次章では、ガウスの驚異の定理——ガウス曲率が内在的量であること——を述べ、その意味（地図の測量だけで面の曲がりが分かる）を明らかにします。