第7章ガウスの驚異の定理

「外を見なくても曲がりが分かる」という衝撃

前章で、ガウス曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$ を主曲率の積として定義しました。主曲率は法線の動き（ワインガルテン写像）から来る外在的な量——面が $3$ 次元空間の中でどう反っているかを見て決めたものです。だから常識的には、 $K$ を知るには面を外から眺めるしかないはず。

ところがガウスは、 $K$ が第一基本形式 $E,F,G$ （内在的な量）だけで決まることを発見しました。つまり、面の上に住むアリが、空間を一切見ずに、面の上の距離だけを測って計算すれば、ガウス曲率が分かる。ガウス自身がこれを “Theorema Egregium”（驚異の定理、際立った定理）と名づけたほどの衝撃でした。

ガウス曲率 $K$ は、外在的に定義したのに内在的に決まる。面の上の距離（第一基本形式）だけで、面の曲がりが分かる。

何が驚きなのか——たとえで掴む

紙を思い浮かべてください。平らな紙は $K=0$ 。これを丸めて円柱にしても、紙の上の図形の距離は変わりません（破らず曲げただけ）。だから第一基本形式は平面と同じ、 $K=0$ のまま——実際、円柱は放物的で $K=0$ でした。これは「 $K$ が破らずに曲げても変わらない（内在的）」ことと整合します。

では球面はどうか。球面（ $K>0$ ）は、どう頑張っても平らな紙に破らず広げられない。逆に平らな紙を球に貼ろうとすると必ずシワや破れができる。地図が必ず歪むのはこのため。 $K$ が違う面どうしは、伸び縮みなしには移り合えないのです。驚異の定理は、この「地図製作者の悩み」を数学的に言い切ります。

注意平面と円柱は“同じ”、平面と球は“違う”

内在幾何（第一基本形式）の立場では、平面と円柱は同一（破らず曲げただけ、 $K=0$ 同士）。だが平面と球面は別物（ $K=0$ と $K>0$ ）。「切ったり伸ばしたりせずに重ねられるか」＝第一基本形式が一致するか、を $K$ が判定する。ピザを折ると曲げにくくなる（一方向を曲げると $K=0$ 保存のため他方向が固くなる）のも驚異の定理の帰結。

驚異の定理

定理ガウスの驚異の定理 (Theorema Egregium)

ガウス曲率 $K$ は第一基本形式 $E,F,G$ とその導関数だけで表せる。したがって $K$ は内在的であり、第一基本形式を保つ写像（等長写像）で不変である。

証明の全体は計算が重いので骨格を示します。鍵は「面の反り方（第二基本形式）」と「面上の内在的な微分」をつなぐ適合方程式です。

証明

方針：位置ベクトルの二階微分 $\bm x_{uu},\bm x_{uv},\bm x_{vv}$ を、基底 $\{\bm x_u,\bm x_v,\bm n\}$ で展開する：

\bm x_{ij}=\sum_k \Gamma^k_{ij}\,\bm x_k+(\text{第二基本量})\,\bm n.

接成分の係数 $\Gamma^k_{ij}$ をクリストッフェル記号という。これは第一基本形式 $E,F,G$ とその微分だけで書ける（内積 $\bm x_{ij}\cdot\bm x_k$ が $E,F,G$ の微分で表せるため。内在的）。

適合条件：三階微分の順序交換 $\bm x_{uuv}=\bm x_{uvu}$ （偏微分は順序によらない）を、上の展開に当てはめて係数比較する。 $\bm n$ 成分の比較からコダッチ方程式、 $\bm x_u,\bm x_v$ 成分の比較からガウス方程式が出る。ガウス方程式は

LN-M^2=(\text{$\Gamma$ とその微分の式}).

左辺を $EG-F^2$ で割ると $K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$ 。右辺は $\Gamma$ （＝ $E,F,G$ の式）だけ——つまり $K$ は第一基本形式だけで表せる。外在的に見えた $LN-M^2$ が、内在的な量に等しいと判明した。∎

証明の心は「三階微分の順序交換」という、ごく当たり前の事実です。 $\bm x_{uuv}=\bm x_{uvu}$ を書き下すと、面の反り（第二基本形式）と面上の内在的な曲がり（クリストッフェル記号）の間に、成り立たねばならない関係（ガウス方程式）が生まれる。その関係が、外在的な $LN-M^2$ を内在的な式に縛りつけるのです。当たり前の対称性から驚異が出てくる——これが証明の醍醐味です。

注意クリストッフェル記号は内在的な“接続”の芽

$\Gamma^k_{ij}$ は「面上でベクトルを平行に運ぶとき、どう補正するか」を表す量。第一基本形式だけで決まる内在的な情報で、第10章のアフィン接続・共変微分へと一般化される。驚異の定理は、内在幾何が独立した豊かな世界であることの最初の証拠——この気づきがリーマン幾何学を生んだ。

内在的に $K$ を測る方法

驚異の定理は「 $K$ が内在的」と言うだけでなく、面の上の測定だけで $K$ を実際に取り出せることを意味します。代表的なのが、小さな円や三角形の“ずれ”を測る方法です。

定理内在量としての $K$（局所ガウス–ボンネの芽）

面上の点 $p$ を中心とする半径 $r$ の測地円（面上で測って半径 $r$ ）の周長 $C(r)$ と面積 $A(r)$ は

C(r)=2\pi r\Big(1-\frac{K}{6}r^2+\cdots\Big),\qquad A(r)=\pi r^2\Big(1-\frac{K}{12}r^2+\cdots\Big).

平面（ $K=0$ ）なら $C=2\pi r$ ちょうど。 $K>0$ なら周長が短めに、 $K<0$ なら長めになる。

球面上に小さな円を描くと、平面のときより周長がわずかに足りない（ $K>0$ ）。鞍の上ならはみ出す（ $K<0$ ）。アリはこの“ $2\pi r$ からのずれ”を測るだけで、自分のいる面の曲がり $K$ を知る。次章の測地三角形の 内角の和が $180^\circ$ からずれる現象（第9章のガウス–ボンネで体感）も、同じ内在的な $K$ の現れです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

内在的になるのは $K$ （積）だけ。 主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$ 個々や平均曲率 $H$ は外在的なまま。円柱は $K=0$ （平面と内在的に同じ）だが $H\ne0$ （平面と違う）。積と和で運命が分かれる。
「内在的」＝面の上の距離だけで決まる、の意味。 空間への埋め込み方に依らない。等長写像（第一基本形式を保つ写像）で不変。外から眺める必要がない。
等長 ≠ 合同。 平面と円柱は等長（内在的に同じ）だが、空間内では合同でない（見た目が違う）。等長は「破らず伸ばさず曲げただけ」の関係。
地図が歪むのは数学的必然。 $K$ が違う面（球と平面）は等長にできない。だからあらゆる世界地図は必ず面積か角度か距離のどれかを歪める。メルカトル図法の面積歪みはこの定理の帰結。

この章のまとめ

ガウスの驚異の定理：外在的に定義したガウス曲率 $K$ が、実は第一基本形式 $E,F,G$ （内在的）だけで決まる。 $K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$ の右辺が内在量に等しい。
証明の核は三階微分の順序交換 $\bm x_{uuv}=\bm x_{uvu}$ から出るガウス方程式。当たり前の対称性が驚異を生む。クリストッフェル記号は内在的な接続の芽（第10章へ）。
帰結： $K$ が違う面は等長にできない（球と平面）。だから地図は必ず歪む。小さな円の周長の $2\pi r$ からのずれで、アリは内在的に $K$ を測れる。
内在幾何の独立性の発見が、リーマン幾何学と一般相対論への扉を開いた。
次章では、面上の「まっすぐな線」＝測地線を定義し、内在幾何のもう一つの主役を手に入れます。

次章では、面の上での「最短経路・まっすぐな道」＝測地線を、測地的曲率ゼロの曲線として定義し、その方程式を導きます。

第7章 ガウスの驚異の定理