第8章測地線

曲面の上で「まっすぐ」とは

平面での「まっすぐ」は直線。では球面の上で「まっすぐ進む」とは何でしょう。飛行機は地球上を大円（赤道のような最大の円）に沿って飛びます。東京からニューヨークへは、地図上では北に膨らんだ弧に見えるのに、それが最短。この「曲がった面の上でのまっすぐな道」を測地線といいます。

「まっすぐ」の意味を三つの角度から捉えられます。どれも同じ測地線を指します——これが理解の鍵です。

面の上で見て曲がっていない（測地的曲率がゼロ）。面上のアリには直進に見える。
最短経路（近くの二点を結ぶ最短の道）。ゴムひもを面に張った形。
加速度が面に垂直（面内方向には加速しない）。ハンドルを切らずに進む車。

測地線＝曲がった面の上の「まっすぐな道」。面上で曲がらない＝最短＝加速度が法線方向、の三つの顔を持つ。

測地的曲率と測地線の定義

第5章で、面上の曲線の曲率は二つに分かれると触れました——法線方向の法曲率 $\kappa_n$ （面の反りのせい）と、接平面内の測地的曲率 $\kappa_g$ （面上で経路が曲がるせい）。測地線は後者がゼロの曲線です。

定義測地的曲率・測地線

面上の弧長曲線 $\gamma$ の加速度 $\gamma''$ を、接平面成分と法線成分に分ける。接平面成分の大きさを測地的曲率 $\kappa_g$ という。 $\kappa_g\equiv0$ 、すなわち加速度が面に垂直（ $\gamma''\parallel\bm n$ ）である曲線を測地線という。

「加速度が面に垂直」の意味を噛みくだきましょう。面上を進む点が加速するとき、その加速には二種類ある—— 「面から浮かないように面が押し返す分」（法線方向、避けられない）と、「面の上で進路を曲げる分」（接平面内、ハンドル操作）。測地線は後者がゼロ。面が押し返す最小限の加速だけで、面上ではまっすぐ進む。車で言えばハンドルを切らずアクセルも一定（速さ一定）で走った軌跡です。

例球面の測地線は大円

球面上で加速度が法線（＝中心を向く半径方向）に一致する曲線は、中心を通る平面で球を切った断面＝大円。赤道や経線（子午線）は大円だが、緯線（赤道以外）は大円でない——緯線に沿うにはハンドルを切り続ける（ $\kappa_g\ne0$ ）必要がある。だから緯線は測地線でなく、二点間の最短でもない。飛行機が大円を飛ぶ理由がこれ。

測地線の方程式

「測地的曲率ゼロ」を局所座標 $(u,v)$ で書き下すと、常微分方程式になります。ここで前章のクリストッフェル記号が再登場します。

定理測地線の方程式

測地線 $(u(s),v(s))$ （弧長パラメータ）は、クリストッフェル記号 $\Gamma^k_{ij}$ （第一基本形式だけで決まる）を用いて

\frac{d^2u^k}{ds^2}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\,\frac{du^i}{ds}\frac{du^j}{ds}=0\qquad(k=1,2)

をみたす（ $u^1=u,\ u^2=v$ ）。

証明

$\gamma'=\sum_i (u^i)'\bm x_i$ を微分すると、 $\gamma''=\sum_k\big[(u^k)''+\sum_{ij}\Gamma^k_{ij}(u^i)'(u^j)'\big]\bm x_k +(\text{法線成分})$ 。測地線条件は「接平面成分＝ $0$ 」だから、 $\bm x_k$ の係数がすべて消える。それが上式。∎

この方程式が第一基本形式だけで書ける（ $\Gamma$ が内在的）ことに注目してください。測地線は内在的な概念—— 面の上のアリが、空間を見ずに「まっすぐ進む」ルールとして決められます。前章の驚異の定理と同じく、内在幾何の住人です。

定理測地線の存在と一意性

各点・各方向に対して、その点を通りその方向に出発する測地線が（局所的に）一意に存在する。

証明

測地線の方程式は二階の常微分方程式（初期位置と初期速度で決まる）。微分方程式の存在一意性より、初期値 $(u(0),v(0))$ と $(u'(0),v'(0))$ を与えれば解が一意に存在。∎

「点と方向を決めれば測地線が一本決まる」——これは平面で「点と向きを決めれば直線が一本決まる」の一般化です。測地線は曲がった面における直線の役割を果たします。

最短性——測地線は局所的に最短

測地線の三つ目の顔「最短経路」を確認します。厳密には局所的に最短（近い二点なら最短、遠いと必ずしも最短でない）。

定理測地線の局所最短性

面上の十分近い二点を結ぶ最短曲線は測地線である。逆に、測地線は十分短い範囲では二点間の最短経路になる。

証明は変分法の考え方（長さ汎関数 $\int\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}\,dt$ を最小にするオイラー–ラグランジュ方程式が、まさに測地線の方程式になる）で行います。ゴムひもを面に張ると、張力で最短になろうとして測地線の形に落ち着く——これが直感的な像です。

注意 “局所的に”が効く例

球面で、北極と南極を結ぶ経線はどれも測地線で、どれも同じ長さの最短。だが北極から少しずれた二点を大円で結ぶとき、短い側の弧が最短で、反対回りの長い弧も測地線だが最短ではない。「測地線＝最短」は近距離での話。測地線は「まっすぐ」であって、大域的な最短は別途保証が要る（第9章・リーマン幾何学のホップ–リノウの定理へ）。

つまずきポイント

注意よくある誤解

測地線＝最短、は局所的にのみ真。 遠い二点では測地線でも最短とは限らない（球面の長い方の弧）。定義は「測地的曲率ゼロ＝まっすぐ」であって、最短は帰結（近距離で）。
緯線は測地線でない（赤道以外）。 一見まっすぐでも、赤道以外の緯線を辿るにはハンドルを切り続ける（ $\kappa_g\ne0$ ）。大円だけが球面の測地線。
測地線は内在的。 方程式が第一基本形式（ $\Gamma$ ）だけで書ける。面上のアリが空間を見ずに決められる。
加速度ゼロではなく「接平面成分ゼロ」。 測地線でも加速度自体は $0$ でない（面が押し返す法線方向の加速がある）。ゼロなのは面内の加速（進路変更）だけ。速さは一定。

この章のまとめ

測地線＝曲がった面の「まっすぐな道」。三つの同値な顔：測地的曲率ゼロ（面上で曲がらない）・加速度が法線方向（面内で加速しない）・局所的に最短（ゴムひも）。
測地線の方程式 $(u^k)''+\sum\Gamma^k_{ij}(u^i)'(u^j)'=0$ はクリストッフェル記号（第一基本形式だけ）で書け、内在的。二階ODEなので点と方向で一意に決まる（直線の一般化）。
球面の測地線は大円（緯線は測地線でない）。最短性は近距離でのみ保証（局所的）。
曲面論（第4〜8章）はここで一区切り。次章では、局所の曲率 $K$ を面全体で積分すると位相不変量（オイラー標数）が現れる——ガウス–ボンネの定理を、測地三角形で体感します。

次章では、局所の曲率と大域の位相を結ぶ金字塔——ガウス–ボンネの定理を、球面の測地三角形の角の過剰とともに見ます。

第8章 測地線