⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第2章 横断性

平面上で二本の直線は、普通は一点で交わります。でも平行なら交わらず、重なれば線で交わる——これらは 「例外的」で、少しずらせば消えてしまう。空間内で二つの曲面は普通は曲線で交わり、二本の曲線は普通は 交わりません。この「普通の交わり方」を厳密にした概念が横断性です。微分位相幾何の全編を貫く 「一般の位置で考える」という発想の中心にあり、前章のサードの定理がその実現を保証します。

素直な交わり ＝ 接空間が空間全体を張る

何をもって「素直な交わり」とするか。鍵は交点での接空間です。二本の直線が一点で交わるとき、 二つの方向ベクトルは平面全体を張ります。平行だと同じ方向で、平面を張れない。この違いを一般化します。

定義 横断性

多様体 NN の中の二つの部分多様体 X,ZX, Z が横断的に交わる（X⋔ZX\pitchfork Z）とは、交わりの 各点 p∈X∩Zp\in X\cap Z で、接空間が NN の接空間全体を張ること：

TpX+TpZ=TpN.T_pX+T_pZ=T_pN.

（和は張る空間で、直和とは限らない。X∩Z=∅X\cap Z=\varnothing なら空虚に横断的。）
写像版：なめらかな f ⁣:M→Nf\colon M\to N が部分多様体 Z⊂NZ\subset N に横断的（f⋔Zf\pitchfork Z）とは、 f(x)∈Zf(x)\in Z となる各 xx で im⁡dfx+Tf(x)Z=Tf(x)N\operatorname{im}df_x+T_{f(x)}Z=T_{f(x)}N。

条件 TpX+TpZ=TpNT_pX+T_pZ=T_pN は「二つの接空間を合わせれば、周りの空間の全方向がまかなえる」。次元で見ると、 dim⁡X+dim⁡Z≥dim⁡N\dim X+\dim Z\ge\dim N でないと和が全体を張れないので、次元が足りないと横断的な交わりは空になります （空間内の二曲線 1+1<31+1<3 は普通交わらない、が典型）。逆に足りていれば、横断的な交わりは期待どおりの 次元を持ちます。

定理 横断的な逆像・交わりは部分多様体

f⋔Zf\pitchfork Z なら、逆像 f−1(Z)f^{-1}(Z) は MM の部分多様体で、余次元は ZZ の余次元に等しい： codim⁡f−1(Z)=codim⁡Z\operatorname{codim} f^{-1}(Z)=\operatorname{codim} Z、すなわち dim⁡f−1(Z)=dim⁡M−codim⁡Z\dim f^{-1}(Z)=\dim M-\operatorname{codim} Z。
特に X⋔ZX\pitchfork Z なら X∩ZX\cap Z は部分多様体で dim⁡(X∩Z)=dim⁡X+dim⁡Z−dim⁡N\dim(X\cap Z)=\dim X+\dim Z-\dim N。

前章の正則値定理は、この定理で ZZ を一点にした特別な場合です（一点の余次元は nn、f⋔{y}f\pitchfork\{y\} は yy が正則値であること）。証明も同じ精神：ZZ を局所的に「いくつかの座標 =0=0」で表し、その座標たちを ff と合成すると、横断性がちょうど合成写像の全射性（正則値の条件）になる。横断性は正則値の一般化であり、 「素直に交われば、交わりはきれいな多様体」という一言に尽きます。

横断性は安定で、しかも普遍的

横断性が「普通の（一般の）状態」であることには、二つの意味があります。安定性（横断的なら少し動かしても 横断的なまま）と稠密性（横断的でなくても、少し動かせば横断的にできる）。後者こそが前章のサードの果実です。

定理 トムの横断性定理（摂動で横断的にできる）

なめらかな f ⁣:M→Nf\colon M\to N と部分多様体 Z⊂NZ\subset N に対し、ff にいくらでも近い（かつホモトピックな）写像 gg で g⋔Zg\pitchfork Z となるものが存在する。すなわち横断性は C∞C^\infty 位相で稠密。 X,Z⊂NX, Z\subset N についても、XX を微小に動かして X⋔ZX\pitchfork Z にできる。

証明 （着想）

ff を人工的に多くのパラメータ ss で揺らした族 F(x,s)F(x,s) を作り、FF 自身が ZZ に横断的になるように仕込む （例：N=RnN=\mathbb{R}^n なら F(x,s)=f(x)+sF(x,s)=f(x)+s と平行移動で揺らす。ss で微分すれば全方向に動くので F⋔ZF\pitchfork Z）。 すると各 ss を固定した fs(x)=F(x,s)f_s(x)=F(x,s) が ZZ に横断的になる条件は、「ss が、FF を ZZ に落とした写像の正則値で あること」と一致する。サードの定理よりそんな ss はほとんどいたるところにあり、s→0s\to0 で ff に近い g=fsg=f_s が とれる。

「揺らして、サードで良いパラメータを拾う」——この論法が横断性定理の心臓で、以後くり返し使われます。 帰結は絶大です。交わりや逆像を考えるとき、いつでも横断的な状況に置き換えてよい。退化した交わり （接して交わる、余分に重なる）は摂動で消せるので、「一般の位置」だけを相手にすればよい。 これが「写像度」や「交叉数」といった不変量を、退化を気にせず定義できる理由です。

横断性が生む「数える」不変量

横断性のいちばんの果実は、交わりが離散的な点になったとき、その点を数えられることです。 dim⁡X+dim⁡Z=dim⁡N\dim X+\dim Z=\dim N（相補的な次元）で X⋔ZX\pitchfork Z なら、X∩ZX\cap Z は 00 次元＝孤立した点の集まり。 X,ZX, Z がコンパクトなら有限個。この個数が、摂動しても（ホモトピーで動かしても）変わらない不変量に なります——これが次章以降の主題です。

たとえば MM がコンパクトで f ⁣:M→Nf\colon M\to N、dim⁡M=dim⁡Z\dim M=\dim Z の余次元条件を満たせば、f−1(Z)f^{-1}(Z) は有限個の点。 その個数の偶奇はホモトピー不変（第4章 mod 2 写像度）、向きまで込めた符号付きの個数は整数の不変量 （第5–6章 写像度・交叉数）になります。横断性は「数えられる状況」を作り出す装置なのです。

注意 つまずきポイント

  • 横断的 ＝ 交わらない、ではない。 X∩Z=∅X\cap Z=\varnothing も横断的（空虚に条件成立）。横断性は「交わるなら 素直に交わる」という条件。接して交わる（TpX+TpZ≠TpNT_pX+T_pZ\ne T_pN）のが非横断的。
  • 次元が足りないと横断＝交わらない。 dim⁡X+dim⁡Z<dim⁡N\dim X+\dim Z<\dim N で横断的なら X∩Z=∅X\cap Z=\varnothing。空間内の 二曲線が普通は交わらないのはこれ。「一般の位置では交わらない」ことも横断性の一部。
  • 横断性は接空間の和**（TpX+TpZ=TpNT_pX+T_pZ=T_pN）であって直和ではない。** 交わりの接空間 Tp(X∩Z)T_p(X\cap Z) が ちょうど TpX∩TpZT_pX\cap T_pZ になり、次元が帳尻合わせ（dim⁡X+dim⁡Z−dim⁡N\dim X+\dim Z-\dim N）で決まる。

この章のまとめ

  • 横断性 X⋔ZX\pitchfork Z：交点で TpX+TpZ=TpNT_pX+T_pZ=T_pN（接空間が全体を張る＝素直な交わり）。写像版は im⁡dfx+Tf(x)Z=Tf(x)N\operatorname{im}df_x+T_{f(x)}Z=T_{f(x)}N。正則値定理の一般化。
  • 横断的なら逆像・交わりは部分多様体で、次元は dim⁡X+dim⁡Z−dim⁡N\dim X+\dim Z-\dim N。次元が足りなければ交わりは空。
  • トムの横断性定理：摂動すれば必ず横断的にできる（サードの果実、「揺らしてサードで拾う」）。だから常に 一般の位置で考えてよい。相補次元なら交わりは有限個の点となり、数える不変量の源になる。

一般の位置で交わりが有限個の点になりました。次章はまず「多様体は結局どこに住んでいるのか」に答えます—— ホイットニーの埋め込み定理：任意の nn 次元多様体は R2n+1\mathbb{R}^{2n+1}（実は R2n\mathbb{R}^{2n}）の中に実現できる。