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第3章 ホイットニーの埋め込み定理

多様体論では、多様体を「チャートを貼り合わせた抽象的な空間」として定義しました。周りの空間に 入っていなくてもよい、内在的な定義です。でも素朴な疑問が残ります——そんな抽象的な多様体は、結局 ユークリッド空間のどこかに実現できるのか？ 答えはイエス。ホイットニーの定理は「nn 次元多様体はすべて R2n+1\mathbb{R}^{2n+1} の中の部分多様体として実現できる」と保証します。前章の横断性が、その証明の主役です。

はめ込みと埋め込み

「多様体を RN\mathbb{R}^N の中に実現する」には、写像 f ⁣:M→RNf\colon M\to\mathbb{R}^N が二つの意味で“つぶれない”必要があります。

定義 はめ込み・埋め込み

なめらかな f ⁣:M→Nf\colon M\to N がはめ込みとは、各点で dfxdf_x が単射（局所的につぶれない）。 埋め込みとは、はめ込みかつ ff が像への同相写像（大域的にも自己交差せず、位相もつぶさない）。

はめ込みは「局所的にはきれいだが、遠くで自分と交わってよい」。平面上の 88 の字（一点で自己交差する曲線）や、 R3\mathbb{R}^3 に描いたクラインの壺は、はめ込みだが埋め込みでない例です。埋め込みは自己交差も許さず、 MM を NN の中に部分多様体としてそっくり実現します。目標は「任意の MM を、ある RN\mathbb{R}^N に埋め込む」こと。 問題は次元 NN をどこまで小さくできるかです。

まず易しい場合：コンパクト多様体を高次元へ

出発点として、MM がコンパクトなら、とにかくどこかのユークリッド空間に埋め込めることを見ます。これは 多様体論の**11 の分割**を使えばすぐです。

定理 コンパクト多様体の埋め込み（粗い版）

コンパクト nn 次元多様体 MM は、十分大きな NN に対し RN\mathbb{R}^N に埋め込める。

証明 （着想）

MM を有限個のチャート (Ui,φi) (i=1,…,k)(U_i,\varphi_i)\ (i=1,\dots,k) で覆う（コンパクト）。11 の分割 ρi\rho_i（UiU_i に台を持つ）を とり、各チャートの座標 φi ⁣:Ui→Rn\varphi_i\colon U_i\to\mathbb{R}^n を ρi\rho_i で切り貼りした f=(ρ1φ1,…,ρkφk, ρ1,…,ρk) ⁣:M→Rk(n+1)f=(\rho_1\varphi_1,\dots,\rho_k\varphi_k,\ \rho_1,\dots,\rho_k)\colon M\to\mathbb{R}^{k(n+1)} を作る。各点は少なくとも 一つのチャートで座標がそのまま効くので ff ははめ込み、ρi\rho_i の情報で点も区別でき単射。コンパクトだから 連続単射は像への同相＝埋め込み。

これで「どこかには埋め込める」。次の問いは「NN を 2n+12n+1 まで下げられるか」。ここで横断性が本領を発揮します。

次元を下げる：射影と横断性

高次元 RN\mathbb{R}^N に埋め込めたら、余分な方向へ射影して潰すことで次元を下げたい。ただし、下手に潰すと 二点が重なったり（単射性が壊れる）、接方向が潰れたり（はめ込みが壊れる）します。「潰しても壊さない射影方向」は どれくらいあるか——それを数えるのが横断性・サードの議論です。

定理 ホイットニーの埋め込み定理（易しい版）

任意の（第二可算な）nn 次元多様体 MM は R2n+1\mathbb{R}^{2n+1} に埋め込め、R2n\mathbb{R}^{2n} にはめ込める。

証明 （射影の可算次元勘定）

M⊂RNM\subset\mathbb{R}^N（NN 大）から、単位ベクトル vv 方向を潰す射影 πv\pi_v を考える。πv\pi_v が単射でなくなるのは、 相異なる二点 p≠qp\ne q で p−qp-q が vv に平行なとき。写像 (p,q)↦p−q∣p−q∣(p,q)\mapsto\frac{p-q}{|p-q|} の像は、定義域が 2n2n 次元（M×MM\times M の対角の外）だから、N−1>2nN-1>2n、すなわち N≥2n+2N\ge 2n+2 ならサードの定理より像は測度 00、 避けられる vv が存在する。同様に πv\pi_v がはめ込みを壊すのは vv がある接ベクトル方向のとき——これも 接束（2n2n 次元）からの写像の像で、N−1>2nN-1>2n なら避けられる。両方避ける vv を選んで一次元落とす操作を、 N=2n+1N=2n+1（埋め込み）／2n2n（はめ込み）まで繰り返せる。

証明の心は次元の勘定です。「二点が重なる悪い方向」の集合は 2n2n 次元、周りは N−1N-1 次元。N−1N-1 が 2n2n より 大きければ、悪い方向は測度 00 で必ず避けられる——だから NN を 2n+12n+1 まで下げられる。前章の 「揺らしてサードで良いパラメータを拾う」が、ここでは「良い射影方向を拾う」として働いています。 横断性・サードが、抽象多様体を具体的なユークリッド空間の図形に変える力を持つのです。

注意 強形：ℝ^{2n} への埋め込み（ホイットニーのトリック）

実はホイットニーは後に、埋め込みも R2n\mathbb{R}^{2n} まで下げられることを示した（n≥1n\ge1）。上の議論だと R2n\mathbb{R}^{2n} では自己交差点が孤立して残りうる（2n=n+n2n=n+n で相補次元、交点は 00 次元）。それを、符号が逆の 交点対をホイットニーのトリックという幾何的操作で消し去る。この「符号付きで数え、対を消す」発想こそ、 第5–6章の写像度・交叉理論、さらに高次元ポアンカレ予想（第12章）の証明の原型になった。次元 2n2n は最適で、 たとえばクラインの壺（n=2n=2）は R4\mathbb{R}^4 に埋め込めるが R3\mathbb{R}^3 には埋め込めない。

なぜこの定理が効くのか

ホイットニーの定理は、微分位相幾何に二つの視点の自由な行き来をもたらします。多様体を「抽象的に （内在的に）」扱ってもよいし、「RN\mathbb{R}^N の部分多様体として（外在的に）」扱ってもよい——両者は同じもの。 だから、抽象多様体の問題を、必要なら RN\mathbb{R}^N の中に埋め込んで、法束・管状近傍・射影といった 外在的な道具で料理できます。逆に、外在的に見えた性質が実は内在的（埋め込み方に依らない）だと分かることもある。

とりわけ次章以降で使うのは、埋め込まれた多様体の管状近傍（多様体を少し太らせた近傍が、法束と微分同相に なる）です。これがベクトル場・写像度・交叉数を扱う舞台を用意します。「すべての多様体は RN\mathbb{R}^N に住める」 という安心が、以後の議論の下敷きになるのです。

注意 つまずきポイント

  • はめ込み ⊊ 埋め込み。 はめ込みは局所的な単射（dfdf 単射）だけ。大域的な自己交差や、像の位相の つぶれ（R\mathbb{R} を 88 の字に巻く等）は許す。埋め込みは像への同相まで要求。
  • コンパクトなら「はめ込み＋単射連続＝埋め込み」。 非コンパクトだと単射はめ込みでも埋め込みと限らない （像が自分に漸近する例）。粗い版でコンパクト性を使ったのはこのため。
  • 次元 2n+12n+1（2n2n）は横断性の帰結であって天下りでない。 「悪い方向の集合が 2n2n 次元」という勘定から出る。 相補次元で自己交差が孤立点として残るのが 2n2n、それを消すのがホイットニーのトリック。

この章のまとめ

  • はめ込み（dfdf 単射）と埋め込み（はめ込み＋像への同相）を区別。多様体を RN\mathbb{R}^N に実現するとは埋め込むこと。
  • コンパクト多様体は**11 の分割で高次元に埋め込め、そこから射影＋サード**で次元を落とし、 R2n+1\mathbb{R}^{2n+1} に埋め込み・R2n\mathbb{R}^{2n} にはめ込み（ホイットニー）。強形は R2n\mathbb{R}^{2n} 埋め込み。
  • 抽象的（内在的）と部分多様体（外在的）の視点が自由に行き来できる。管状近傍などの外在的道具が使えるようになる。

多様体の住処が定まりました。ここからは横断性が生む「数える」不変量へ。次章はまず、交わりの個数の偶奇という 最もシンプルな不変量——mod 2 写像度を作り、レトラクトの非存在やブラウワーの不動点定理を証明します。