⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 mod 2 写像度

前章までで「横断的にすれば、相補次元の逆像は有限個の点」になりました。この点の個数を不変量にしたい。 ただし個数そのものは、写像を少し動かすと（点が対で生まれたり消えたりして）変わってしまう。ところが 偶奇なら変わらない——生まれる／消えるのは必ず対だからです。これが、向きすら要らない最もシンプルな 不変量mod 2 写像度。単純ですが、そこからブラウワーの不動点定理という大定理が転がり出ます。

逆像の個数の偶奇は不変

舞台を設定します。MM をコンパクトな nn 次元多様体（境界なし）、NN を連結な nn 次元多様体（同じ次元！）、 f ⁣:M→Nf\colon M\to N をなめらかな写像とします。y∈Ny\in N が正則値なら、f−1(y)f^{-1}(y) は 00 次元コンパクト＝有限個の点 （正則値定理＋コンパクト性）。その個数を #f−1(y)\#f^{-1}(y) と書きます。

定義 mod 2 写像度

上の設定で、正則値 yy に対し

deg⁡2(f)=#f−1(y) mod 2 ∈{0,1}\deg_2(f)=\#f^{-1}(y)\bmod 2\ \in\{0,1\}

を ff のmod 2 写像度という。

これが不変量であるためには、二つの独立性を確かめねばなりません。(1)(1) 正則値 yy の選び方に依らない、 (2)(2) ff をホモトピーで動かしても変わらない。両方の根拠は同じ一つの補題です。

定理 mod 2 写像度の well-defined 性とホモトピー不変性

deg⁡2(f)\deg_2(f) は正則値 yy の取り方に依らず、ff のホモトピー類のみで定まる。

証明 （境界での勘定＝classification of 1-manifolds）

鍵は「コンパクトな 11 次元多様体は、円と閉区間の有限個の和」という素朴な分類定理と、その系 「境界点の個数は偶数」。
f0≃f1f_0\simeq f_1 をホモトピー F ⁣:M×[0,1]→NF\colon M\times[0,1]\to N でつなぐ。共通の正則値 yy をとり（サードで存在）、 FF も yy に横断的にできる。すると F−1(y)F^{-1}(y) はコンパクトな**11 次元多様体**で、その境界は M×{0,1}M\times\{0,1\} 上、すなわち f0−1(y)f_0^{-1}(y) と f1−1(y)f_1^{-1}(y) の点たち。11 次元多様体の境界点は偶数個だから #f0−1(y)+#f1−1(y)≡0(mod2)\#f_0^{-1}(y)+\#f_1^{-1}(y)\equiv0\pmod 2、つまり #f0−1(y)≡#f1−1(y)\#f_0^{-1}(y)\equiv\#f_1^{-1}(y)。同じ論法で yy の取り替えにも不変 （二つの正則値を NN の中の道でつなぎ、その上の逆像がまた 11 次元多様体になる）。

美しい証明です。「逆像を一次元上げると弧になり、弧の端点は偶数個」——この一言で、点が対で生滅することが 保証され、偶奇が不変になる。11 次元多様体の端点勘定が、不変量の背骨なのです。ホモトピー不変ということは、 deg⁡2(f)\deg_2(f) は ff の連続的な変形をすべて無視した、大域的な位相の指紋だということです。

すぐ効く例

定数写像は、正則値 yy を像の外にとれば f−1(y)=∅f^{-1}(y)=\varnothing で deg⁡2=0\deg_2=0。だから deg⁡2(f)=1\deg_2(f)=1 の写像は、定数写像にホモトピックでない——連続変形で一点に潰せない。これだけで 「潰せなさ」を検出できます。

円周の写像 f ⁣:S1→S1, z↦zkf\colon S^1\to S^1,\ z\mapsto z^k は、一般の点の逆像が ∣k∣|k| 個なので deg⁡2=k mod 2\deg_2=k\bmod2。 奇数回巻けば deg⁡2=1\deg_2=1、偶数回なら 00。恒等写像（k=1k=1）は deg⁡2=1\deg_2=1 で、定数写像と区別されます。 （向きまで数えれば「ちょうど kk」になる——次章の整数値写像度です。）

ブラウワーの不動点定理

mod 2 写像度の最初の大きな果実。まず「境界へ押し戻せない」ことを示し、そこから不動点を導きます。

定理 レトラクトの非存在

円板 DnD^{n} から境界球面 Sn−1S^{n-1} へのレトラクション——境界を各点固定する連続写像 r ⁣:Dn→Sn−1r\colon D^n\to S^{n-1}（r∣Sn−1=idr|_{S^{n-1}}=\mathrm{id}）——は存在しない。

証明

なめらかな場合で示す（連続の場合は近似）。もし rr が存在すれば、境界 Sn−1S^{n-1} 上で rr は恒等写像。 恒等写像 id ⁣:Sn−1→Sn−1\mathrm{id}\colon S^{n-1}\to S^{n-1} は deg⁡2=1\deg_2=1（正則値の逆像が一点）。一方 rr は円板全体 DnD^n に 拡張されているので、Sn−1S^{n-1} 上の rr は「DnD^n を通って一点写像へホモトピック」——境界を円板の中心へ 縮めれば、r∣Sn−1r|_{S^{n-1}} は定数写像にホモトピックになり deg⁡2=0\deg_2=0。1≠01\ne0 で矛盾。

「境界を固定したまま円板を境界へ押し出すことはできない」。太鼓の皮を、縁を留めたまま縁だけに寄せることは できない、という直感の厳密化です。ここから不動点定理は一瞬です。

定理 ブラウワーの不動点定理

連続写像 g ⁣:Dn→Dng\colon D^n\to D^n は必ず不動点（g(x)=xg(x)=x）を持つ。

証明

不動点が無いと仮定すると、各 xx で g(x)≠xg(x)\ne x。g(x)g(x) から xx へ向かう半直線を延ばし、境界 Sn−1S^{n-1} と 交わる点を r(x)r(x) とすると、r ⁣:Dn→Sn−1r\colon D^n\to S^{n-1} は連続で、xx が既に境界上なら r(x)=xr(x)=x——レトラクションに なる。前定理よりこれは存在しない。ゆえに不動点は必ずある。

「かき混ぜたコーヒーの、どこか一点は元の位置に戻っている」「地図を床に落とすと、地図上のある点が 真下の実際の地点の真上にある」——ブラウワーの定理の日常的な言い換えです。経済学の均衡存在証明や ゲーム理論のナッシュ均衡にも使われる、応用の広い定理が、逆像の偶奇という素朴な不変量から出ました。

注意 つまずきポイント

  • deg⁡2\deg_2 は「同じ次元 dim⁡M=dim⁡N\dim M=\dim N」でのみ定義。 次元が違うと逆像は 00 次元にならない。 さらに MM はコンパクト境界なし、NN は連結が要る。
  • 偶奇でしか不変にならない（向きなし）。 個数そのものはホモトピーで変わる（対生成・対消滅）。向きを 入れて符号付きで数えると、個数そのものが不変になる（次章の整数値写像度）。deg⁡2\deg_2 はその向きを忘れた版。
  • 証明の要は「11 次元多様体の境界は偶数個の点」。 ホモトピーの逆像を一次元上げると弧の集まりになり、 端点が対をなす。この端点勘定が不変性のすべて。

この章のまとめ

  • dim⁡M=dim⁡N\dim M=\dim N、MM コンパクト境界なし・NN 連結で、正則値の逆像の個数の偶奇 deg⁡2(f)=#f−1(y) mod 2\deg_2(f)=\#f^{-1}(y)\bmod2 が ホモトピー不変。根拠は「11 次元多様体の境界点は偶数個」。
  • deg⁡2=1\deg_2=1 なら定数写像に潰せない。z↦zkz\mapsto z^k は deg⁡2=k mod 2\deg_2=k\bmod2。
  • レトラクトの非存在（deg⁡2\deg_2 の矛盾）→ブラウワーの不動点定理。素朴な偶奇から応用の広い大定理が出る。

偶奇だけでも強力でした。次章は向きを導入し、逆像の点に ±1\pm1 の符号を付けて数える——整数値の ブラウワー写像度へ。奇偶より細かく、代数学の基本定理まで一撃で証明します。