⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第5章 向きとブラウワー写像度

前章の mod 2 写像度は「点の個数の偶奇」でした。ここに向きという情報を足すと、逆像の各点に +1+1 か −1-1 かの 符号がつき、符号付きの個数——整数値のブラウワー写像度が得られます。偶奇より遥かに細かく、 「z↦zkz\mapsto z^k の写像度はちょうど kk」を捉え、代数学の基本定理を一撃で片づけます。鍵は、逆像の点で 微分が向きを保つか反転するか、という一点です。

符号付きで数える

M,NM, N を向き付けられた同じ次元 nn のコンパクト連結多様体（MM は境界なし）とし、f ⁣:M→Nf\colon M\to N、 yy を正則値とします。f−1(y)f^{-1}(y) の各点 xx で、微分 dfx ⁣:TxM→TyNdf_x\colon T_xM\to T_yN は正則値だから同型。同型は 向きを保つ（正の基底を正の基底へ）か、反転するかのどちらかです。

定義 符号と写像度

正則点 x∈f−1(y)x\in f^{-1}(y) の符号を、dfxdf_x が向きを保つとき sgn⁡(x)=+1\operatorname{sgn}(x)=+1、反転するとき −1-1 と定める（ヤコビ行列式の符号）。ブラウワー写像度を

deg⁡(f)=∑x∈f−1(y)sgn⁡(x) ∈Z\deg(f)=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\operatorname{sgn}(x)\ \in\mathbb{Z}

で定める。

偶奇では「点が対で生まれて消える」ので個数が変わりました。向きを入れると、対で生まれる二点は必ず符号が 逆（一方が +1+1、他方が −1-1）——だから符号付きの和では打ち消し合い、個数そのものが動いても deg⁡\deg は 変わらない。deg⁡2\deg_2 が「向きを忘れて  mod 2\bmod 2 で潰した」ものだったと分かります（deg⁡(f) mod 2=deg⁡2(f)\deg(f)\bmod2=\deg_2(f)）。

定理 写像度の well-defined 性とホモトピー不変性

deg⁡(f)\deg(f) は正則値の取り方に依らず、ff のホモトピー類のみで定まる整数。

証明は前章とまったく同じ骨格——ホモトピー FF の逆像 F−1(y)F^{-1}(y) が向き付き 11 次元多様体（弧の集まり）に なり、各弧の両端の符号が逆になる（向き付き 11 次元多様体の境界は、符号を込めて足すと 00）。だから deg⁡(f0)−deg⁡(f1)=0\deg(f_0)-\deg(f_1)=0。偶奇の「境界点は偶数個」を、「符号付き境界の和は 00」に精密化しただけです。 向きが、偶奇を整数へ格上げします。

球面の写像度と基本例

z↦zkz\mapsto z^k（S1→S1S^1\to S^1） の写像度はちょうど kk。k>0k>0 なら各逆像点で向きを保つ（+1+1 が ∣k∣|k| 個）ので deg⁡=k\deg=k、k<0k<0 なら向きを反転して deg⁡=k\deg=k。前章の deg⁡2=k mod 2\deg_2=k\bmod2 を細分し、巻き数そのものを捉えます。 一般に deg⁡(f)\deg(f) は「ff が NN を何回覆うか（符号付き）」の直感——位相幾何の巻き数の 高次元版です。

恒等写像 deg⁡(id)=1\deg(\mathrm{id})=1、定数写像 deg⁡=0\deg=0、対蹠写像 a ⁣:Sn→Sn, x↦−xa\colon S^n\to S^n,\ x\mapsto -x は deg⁡(a)=(−1)n+1\deg(a)=(-1)^{n+1}（各座標を反転、n+1n+1 個の反転で行列式 (−1)n+1(-1)^{n+1}）。この対蹠写像の写像度が、 毛玉の定理（第7章）を左右します：SnS^n 上に至る所 00 でないベクトル場があると恒等写像と対蹠写像が ホモトピックになり deg⁡\deg が一致、(−1)n+1=1(-1)^{n+1}=1 すなわち nn が奇数——偶数次元球面では不可能、が導けます。

代数学の基本定理を一撃で

写像度の威力を示す、最も鮮やかな応用です。「複素係数の nn 次多項式は必ず根を持つ」——代数の定理が、 微分位相幾何で落ちます。

定理 代数学の基本定理

複素係数のモニック多項式 p(z)=zn+an−1zn−1+⋯+a0p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0（n≥1n\ge1）は C\mathbb{C} に根を持つ。

証明

pp をリーマン球面 S2=C∪{∞}S^2=\mathbb{C}\cup\{\infty\} の自己写像 p^ ⁣:S2→S2\hat p\colon S^2\to S^2 に拡張する （p^(∞)=∞\hat p(\infty)=\infty）。p^\hat p はなめらか。この写像度を計算する。pp を、最高次項だけの q(z)=znq(z)=z^n へホモトピーでつなぐ：pt(z)=zn+t(an−1zn−1+⋯+a0)p_t(z)=z^n+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0)（t ⁣:1→0t\colon1\to0）。大きな円の外では 最高次項が支配するので、このホモトピーは S2S^2 上でうまく定義でき、deg⁡(p^)=deg⁡(q^)\deg(\hat p)=\deg(\hat q)。 ところが q(z)=znq(z)=z^n の写像度は nn（z↦znz\mapsto z^n は一般の値を nn 個の点から覆い、複素微分は向きを保つので すべて +1+1）。よって deg⁡(p^)=n≥1≠0\deg(\hat p)=n\ge1\ne0。写像度が 00 でない写像は全射（像が全体でなければ、像の外の 正則値の逆像が空で deg⁡=0\deg=0 になってしまう）。ゆえに p^\hat p は全射、特に 00 を値にとる——p(z)=0p(z)=0 の根が存在する。

証明の心臓は「deg⁡≠0⇒\deg\ne0\Rightarrow 全射」。写像度は「符号付きで何回覆うか」だから、00 でなければ どの値も少なくとも一回は覆う。多項式の写像度が最高次数 nn に等しいこと（ホモトピーで znz^n に化ける）と 合わせて、根の存在が出る。複素解析ではリウヴィルの定理から示した同じ定理が、ここでは 「符号付きの覆い数」という純トポロジー的な量から出るのが痛快です。

注意 向きと写像度の要点

  • 向き付けが必須。 MM か NN が向き付け不可能（メビウスの帯・クラインの壺）だと符号が一貫せず、整数値の deg⁡\deg は定義できない——そこでは deg⁡2\deg_2（偶奇）しか使えない。向きは整数値化の代償。
  • deg⁡(f)\deg(f) はヤコビ行列式の符号の和。 逆像点で det⁡dfx>0\det df_x>0 なら +1+1、<0<0 なら −1-1。複素正則写像は 常にヤコビ行列式 >0>0（等角＝向きを保つ）なので、複素の世界では符号がすべて +1+1——これが基本定理で効いた。

積分による写像度（つながり）

写像度には解析的な顔もあります。N=SnN=S^n 上の、全積分が 11 の nn-形式 ω\omega をとると

deg⁡(f)=∫Mf∗ω.\deg(f)=\int_M f^*\omega.

「引き戻した体積形式を積分すると写像度になる」——多様体論のストークス・ド・ラームと直結する 表示です。左辺は離散的な点勘定、右辺はなめらかな積分。両者が一致するのは、写像度が ホモロジー／コホモロジーのレベルで ff が誘導する写像 Hn(M)→Hn(N)H_n(M)\to H_n(N) の“かけ算の係数”に他ならない からです。離散のトポロジーと連続の解析が、写像度という一点で握手します。

この章のまとめ

  • 向きを使い、逆像の点に dfxdf_x が向きを保つ／反転するで ±1\pm1 の符号を付けて足すと、整数値の ブラウワー写像度 deg⁡(f)=∑sgn⁡(x)\deg(f)=\sum\operatorname{sgn}(x)。ホモトピー不変（向き付き 11 次元多様体の符号付き境界は 00）。
  • deg⁡(z↦zk)=k\deg(z\mapsto z^k)=k、deg⁡(id)=1\deg(\mathrm{id})=1、deg⁡(定数)=0\deg(\text{定数})=0、対蹠写像 (−1)n+1(-1)^{n+1}。deg⁡ mod 2=deg⁡2\deg\bmod2=\deg_2。
  • deg⁡≠0⇒\deg\ne0\Rightarrow 全射を使い、多項式の写像度が nn であることから代数学の基本定理が出る。 積分表示 deg⁡(f)=∫Mf∗ω\deg(f)=\int_M f^*\omega で解析ともつながる。

写像を数える不変量ができました。次章はこれを、二つの部分多様体の交わりを符号付きで数える 交叉理論へ一般化し、自己交叉数やオイラー類の芽に触れます。