第5章向きとブラウワー写像度

前章の mod 2 写像度は「点の個数の偶奇」でした。ここに向きという情報を足すと、逆像の各点に $+1$ か $-1$ かの符号がつき、符号付きの個数——整数値のブラウワー写像度が得られます。偶奇より遥かに細かく、「 $z\mapsto z^k$ の写像度はちょうど $k$ 」を捉え、代数学の基本定理を一撃で片づけます。鍵は、逆像の点で微分が向きを保つか反転するか、という一点です。

符号付きで数える

$M, N$ を向き付けられた同じ次元 $n$ のコンパクト連結多様体（ $M$ は境界なし）とし、 $f\colon M\to N$ 、 $y$ を正則値とします。 $f^{-1}(y)$ の各点 $x$ で、微分 $df_x\colon T_xM\to T_yN$ は正則値だから同型。同型は向きを保つ（正の基底を正の基底へ）か、反転するかのどちらかです。

定義符号と写像度

正則点 $x\in f^{-1}(y)$ の符号を、 $df_x$ が向きを保つとき $\operatorname{sgn}(x)=+1$ 、反転するとき $-1$ と定める（ヤコビ行列式の符号）。ブラウワー写像度を

\deg(f)=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\operatorname{sgn}(x)\ \in\mathbb{Z}

で定める。

偶奇では「点が対で生まれて消える」ので個数が変わりました。向きを入れると、対で生まれる二点は必ず符号が逆（一方が $+1$ 、他方が $-1$ ）——だから符号付きの和では打ち消し合い、個数そのものが動いても $\deg$ は変わらない。 $\deg_2$ が「向きを忘れて $\bmod 2$ で潰した」ものだったと分かります（ $\deg(f)\bmod2=\deg_2(f)$ ）。

定理写像度の well-defined 性とホモトピー不変性

$\deg(f)$ は正則値の取り方に依らず、 $f$ のホモトピー類のみで定まる整数。

証明は前章とまったく同じ骨格——ホモトピー $F$ の逆像 $F^{-1}(y)$ が向き付き $1$ 次元多様体（弧の集まり）になり、各弧の両端の符号が逆になる（向き付き $1$ 次元多様体の境界は、符号を込めて足すと $0$ ）。だから $\deg(f_0)-\deg(f_1)=0$ 。偶奇の「境界点は偶数個」を、「符号付き境界の和は $0$ 」に精密化しただけです。向きが、偶奇を整数へ格上げします。

球面の写像度と基本例

$z\mapsto z^k$ （ $S^1\to S^1$ ） の写像度はちょうど $k$ 。 $k>0$ なら各逆像点で向きを保つ（ $+1$ が $|k|$ 個）ので $\deg=k$ 、 $k<0$ なら向きを反転して $\deg=k$ 。前章の $\deg_2=k\bmod2$ を細分し、巻き数そのものを捉えます。一般に $\deg(f)$ は「 $f$ が $N$ を何回覆うか（符号付き）」の直感——位相幾何の巻き数の高次元版です。

恒等写像 $\deg(\mathrm{id})=1$ 、定数写像 $\deg=0$ 、対蹠写像 $a\colon S^n\to S^n,\ x\mapsto -x$ は $\deg(a)=(-1)^{n+1}$ （各座標を反転、 $n+1$ 個の反転で行列式 $(-1)^{n+1}$ ）。この対蹠写像の写像度が、毛玉の定理（第7章）を左右します： $S^n$ 上に至る所 $0$ でないベクトル場があると恒等写像と対蹠写像がホモトピックになり $\deg$ が一致、 $(-1)^{n+1}=1$ すなわち $n$ が奇数——偶数次元球面では不可能、が導けます。

代数学の基本定理を一撃で

写像度の威力を示す、最も鮮やかな応用です。「複素係数の $n$ 次多項式は必ず根を持つ」——代数の定理が、微分位相幾何で落ちます。

定理代数学の基本定理

複素係数のモニック多項式 $p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$ （ $n\ge1$ ）は $\mathbb{C}$ に根を持つ。

証明

$p$ をリーマン球面 $S^2=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ の自己写像 $\hat p\colon S^2\to S^2$ に拡張する（ $\hat p(\infty)=\infty$ ）。 $\hat p$ はなめらか。この写像度を計算する。 $p$ を、最高次項だけの $q(z)=z^n$ へホモトピーでつなぐ： $p_t(z)=z^n+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0)$ （ $t\colon1\to0$ ）。大きな円の外では最高次項が支配するので、このホモトピーは $S^2$ 上でうまく定義でき、 $\deg(\hat p)=\deg(\hat q)$ 。ところが $q(z)=z^n$ の写像度は $n$ （ $z\mapsto z^n$ は一般の値を $n$ 個の点から覆い、複素微分は向きを保つのですべて $+1$ ）。よって $\deg(\hat p)=n\ge1\ne0$ 。写像度が $0$ でない写像は全射（像が全体でなければ、像の外の正則値の逆像が空で $\deg=0$ になってしまう）。ゆえに $\hat p$ は全射、特に $0$ を値にとる—— $p(z)=0$ の根が存在する。

証明の心臓は「 $\deg\ne0\Rightarrow$ 全射」。写像度は「符号付きで何回覆うか」だから、 $0$ でなければどの値も少なくとも一回は覆う。多項式の写像度が最高次数 $n$ に等しいこと（ホモトピーで $z^n$ に化ける）と合わせて、根の存在が出る。複素解析ではリウヴィルの定理から示した同じ定理が、ここでは「符号付きの覆い数」という純トポロジー的な量から出るのが痛快です。

注意向きと写像度の要点

向き付けが必須。 $M$ か $N$ が向き付け不可能（メビウスの帯・クラインの壺）だと符号が一貫せず、整数値の $\deg$ は定義できない——そこでは $\deg_2$ （偶奇）しか使えない。向きは整数値化の代償。
$\deg(f)$ はヤコビ行列式の符号の和。 逆像点で $\det df_x>0$ なら $+1$ 、 $<0$ なら $-1$ 。複素正則写像は常にヤコビ行列式 $>0$ （等角＝向きを保つ）なので、複素の世界では符号がすべて $+1$ ——これが基本定理で効いた。

積分による写像度（つながり）

写像度には解析的な顔もあります。 $N=S^n$ 上の、全積分が $1$ の $n$ -形式 $\omega$ をとると

\deg(f)=\int_M f^*\omega.

「引き戻した体積形式を積分すると写像度になる」——多様体論のストークス・ド・ラームと直結する表示です。左辺は離散的な点勘定、右辺はなめらかな積分。両者が一致するのは、写像度が ホモロジー／コホモロジーのレベルで $f$ が誘導する写像 $H_n(M)\to H_n(N)$ の“かけ算の係数”に他ならないからです。離散のトポロジーと連続の解析が、写像度という一点で握手します。

この章のまとめ

向きを使い、逆像の点に $df_x$ が向きを保つ／反転するで $\pm1$ の符号を付けて足すと、整数値の ブラウワー写像度 $\deg(f)=\sum\operatorname{sgn}(x)$ 。ホモトピー不変（向き付き $1$ 次元多様体の符号付き境界は $0$ ）。
$\deg(z\mapsto z^k)=k$ 、 $\deg(\mathrm{id})=1$ 、 $\deg(\text{定数})=0$ 、対蹠写像 $(-1)^{n+1}$ 。 $\deg\bmod2=\deg_2$ 。
$\deg\ne0\Rightarrow$ 全射を使い、多項式の写像度が $n$ であることから代数学の基本定理が出る。積分表示 $\deg(f)=\int_M f^*\omega$ で解析ともつながる。

写像を数える不変量ができました。次章はこれを、二つの部分多様体の交わりを符号付きで数える 交叉理論へ一般化し、自己交叉数やオイラー類の芽に触れます。

第5章 向きとブラウワー写像度