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第6章 交叉理論

写像度は「写像 ff が、点 yy の逆像として何回覆うか」を符号付きで数えました。これを二つの部分多様体の 交わりへ一般化します。空間内で曲線と曲面が交わる点、平面上で二曲線が交わる点——それを符号付きで 数えた交叉数は、位置を動かしても変わらない不変量になり、写像度を特別な場合として含みます。 そして「多様体を自分自身と交わらせる」自己交叉数から、ベクトル場の零点勘定（次章）への橋が架かります。

交叉数：符号付きで交点を数える

前章の横断性を思い出します。向き付き多様体 NnN^n の中の、向き付きコンパクト部分多様体 Xx,ZzX^x, Z^z が 相補次元 x+z=nx+z=n で横断的に交わるとき、X∩ZX\cap Z は 00 次元コンパクト＝有限個の点。各交点で符号を付けます。

定義 交叉数

x+z=nx+z=n で X⋔ZX\pitchfork Z とする。交点 p∈X∩Zp\in X\cap Z では横断性より TpX⊕TpZ=TpNT_pX\oplus T_pZ=T_pN（相補次元なので直和）。 この直和で定まる向きが NN の向きと一致すれば sgn⁡(p)=+1\operatorname{sgn}(p)=+1、逆なら −1-1。交叉数を

X⋅Z=∑p∈X∩Zsgn⁡(p) ∈ZX\cdot Z=\sum_{p\in X\cap Z}\operatorname{sgn}(p)\ \in\mathbb{Z}

で定める。（一方が向き付け不可能などでは  mod 2\bmod 2 版 X⋅2Z∈{0,1}X\cdot_2 Z\in\{0,1\}。）

「交点で二つの接空間の向きを並べ、周りの向きと合うかどうか」で ±1\pm1。写像度のときの「dfxdf_x が向きを保つか」と 同じ発想で、今度は二つの部分多様体の接空間を突き合わせています。そして写像度と同じ論法で不変です。

定理 交叉数のホモロジー不変性

X⋅ZX\cdot Z は、XX（や ZZ）をホモトピー／ボルディズムで動かしても変わらない。したがって X,ZX, Z の ホモロジー類のみで定まる。非横断的な配置でも、摂動して横断的にしてから数えれば、同じ値になる。

証明はまたも「一次元上げて端点勘定」。XX を動かすホモトピー XtX_t の描く跡と ZZ の交わりが、符号付き 11 次元多様体になり、その符号付き境界（=X0⋅Z=X_0\cdot Z と X1⋅ZX_1\cdot Z の差）が 00。第4–5章で確立した 端点勘定の原理が、ここでも不変性を生みます。前章までを貫く一つの技法が、写像度・交叉数を統一的に支えています。

注意 写像度は交叉数の特別な場合

f ⁣:Mn→Nnf\colon M^n\to N^n の写像度は、ff のグラフ Γf={(x,f(x))}⊂M×N\Gamma_f=\{(x,f(x))\}\subset M\times N と、 M×{y}M\times\{y\} の交叉数に一致する：deg⁡(f)=Γf⋅(M×{y})\deg(f)=\Gamma_f\cdot(M\times\{y\})。「ff が yy を覆う回数」＝ 「グラフが水平スライスと交わる回数」。写像度・交叉数・（後述の）零点数は、すべて同じ符号付き点勘定の 別の顔なのです。

自己交叉数とオイラー類

X⋅ZX\cdot Z で Z=XZ=X とすると何が起きるか。XX を自分自身と交わらせる——もちろんそのままでは全体で 重なってしまうので、XX を少し押しずらした X′X'（横断的なコピー）との交叉を数えます。これが自己交叉数です。

定義 自己交叉数とオイラー数

コンパクト向き付き XkX^k が向き付き N2kN^{2k} に埋め込まれているとき、XX の摂動コピー X′X' との交叉数 X⋅XX\cdot X を自己交叉数という。とくに XX を NN の中で押しずらす方向は法束で決まり、 X⋅XX\cdot X は法束のオイラー数（オイラー類の値）に等しい。

自己交叉数は「XX を自分からどれだけ引き離せるか、引き離せない度合い」を測ります。押しずらしたコピーと 必ず交わってしまうなら、その符号付き個数が“ねじれ”の量。もっとも重要な場合が、 **接束の切断（ベクトル場）**を考えたときです。

定理 オイラー数＝零点勘定

コンパクト向き付き多様体 MM 上のなめらかなベクトル場 VV（＝接束 TMTM の切断）を、零切断 （＝ゼロベクトル場）と横断的にすると、VV の零点は孤立し、符号付きの零点数は MM の対角線の自己交叉数＝接束のオイラー数に等しく、VV の取り方に依らない。

言い換えると、「ベクトル場の零点を符号付きで数えた総和」は、ベクトル場をどう選んでも同じ——多様体 MM の 形だけで決まる不変量（接束のオイラー数）です。ここで前章までの交叉理論が、次章の主役 「ベクトル場の零点」へまっすぐ接続します。零点の符号（＝指数）を数えると、それが多様体の オイラー標数に一致する——それが次章のポアンカレ–ホップの定理です。

ポアンカレ双対との関係

交叉理論には、位相幾何のポアンカレ双対という代数的な裏の顔があります。 向き付きコンパクト nn 次元多様体で、kk 次元部分多様体 XX は (n−k)(n-k) 次コホモロジー類 [X]∨[X]^\vee（その ポアンカレ双対）を定め、交叉数はカップ積の積分になります：

X⋅Z=∫N[X]∨⌣[Z]∨.X\cdot Z=\int_N [X]^\vee\smile[Z]^\vee.

「幾何的な交わりの点勘定」＝「コホモロジー環でのカップ積」。微分位相の幾何的な交叉数と、代数トポロジーの 代数的なカップ積が、同じ整数を与える。第5章の「写像度＝ ∫f∗ω\int f^*\omega」と同じく、離散の幾何と連続の代数が 一致する構図で、微分位相幾何と代数トポロジーが二枚の鏡のように対応していることを示しています。

注意 つまずきポイント

  • 交叉数は相補次元 x+z=nx+z=n でこそ整数。 次元が余れば交わりは正次元の多様体になり「個数」でなく 「ボルディズム類」を考える必要がある。ちょうど足りるときだけ点勘定。
  • 自己交叉は「押しずらしたコピー」との交叉。 XX そのものと XX は全体で重なるので摂動が必須。押しずらす 方向＝法束が自己交叉数（オイラー数）を決める。曲線が平面内なら法束は自明で自己交叉 00、曲面内の曲線だと ≠0\ne0 もある。
  • 向きが無ければ  mod 2\bmod 2。 向き付け不可能な舞台では符号が定まらず、交叉数は偶奇  mod 2\bmod 2 でしか 意味を持たない（第4章と同じ事情）。

この章のまとめ

  • 交叉数 X⋅Z=∑sgn⁡(p)X\cdot Z=\sum\operatorname{sgn}(p)：相補次元 x+z=nx+z=n で横断的に交わる二つの向き付き部分多様体の交点を、 接空間の向きの整合で符号付きに数える。ホモロジー不変（端点勘定）。
  • 写像度は交叉数の特別な場合（グラフと水平スライスの交叉）。写像度・交叉数・零点数は同じ符号付き点勘定の別の顔。
  • 自己交叉数＝押しずらしたコピーとの交叉＝法束のオイラー数。とくにベクトル場（接束の切断）の 符号付き零点数は MM の形だけで決まる——次章ポアンカレ–ホップへの橋。ポアンカレ双対でカップ積とも一致。

交叉理論が「ベクトル場の零点数は多様体の不変量」を示唆しました。次章はその不変量の正体を突き止めます—— 零点の符号（指数）の総和は、多様体のオイラー標数に等しい。毛玉の定理を完全に証明します。