第7章ポアンカレ–ホップの定理

「球面全体に生えた毛を、つむじなく撫でつけることはできない」——多様体論で毛玉の定理として出会ったこの事実を、いよいよ完全に証明します。しかも「なぜ球面では必ずつむじができ、トーラス（浮き輪）ではできるのか」まで、一つの定理が説明します。ベクトル場の零点（つむじ・湧き出し・沈み込み）の指数の総和が、多様体のオイラー標数に等しい——ポアンカレ–ホップの定理。前章までの写像度・交叉理論が、ここで結実します。

零点の指数

ベクトル場 $V$ の零点——ベクトルが $0$ になる点＝つむじや泉——の“型”を、局所的な写像度で測ります。孤立零点 $p$ の周りに小さな球面 $S_\varepsilon$ をとると、その上で $V$ は $0$ でないので、方向 $V/|V|\colon S_\varepsilon\to S^{n-1}$ が定まります。

定義零点の指数

孤立零点 $p$ の指数 $\operatorname{ind}_p(V)$ を、方向写像 $V/|V|\colon S_\varepsilon^{n-1}\to S^{n-1}$ の写像度で定める。 $p$ を囲む小球面上で「ベクトルの向きが何回まわるか（符号付き）」。

平面（ $n=2$ ）の例で握りましょう。湧き出し（放射状に外向き $V=(x,y)$ ）は、囲む円を一周する間に矢印もちょうど一周＝指数 $+1$ 。沈み込み（内向き $V=-(x,y)$ ）も、矢印が逆向きにやはり一周して指数 $+1$ 。渦（ $V=(-y,x)$ ）も $+1$ 。ところが鞍点（ $V=(x,-y)$ 、峠型）は、矢印が逆回りに一周して指数 $-1$ 。つむじ・泉は $+1$ 、峠は $-1$ ——第5章の写像度が、零点の型を整数に翻訳します。前章の「零切断との横断的交叉の符号」が、この指数と一致します。

ポアンカレ–ホップの定理

定理ポアンカレ–ホップの定理

コンパクト向き付き多様体 $M$ 上の、孤立零点のみを持つなめらかなベクトル場 $V$ に対し、零点の指数の総和は $M$ のオイラー標数に等しい：

\sum_{p:\,V(p)=0}\operatorname{ind}_p(V)=\chi(M).

特にこの総和は、ベクトル場 $V$ の取り方に依らない。

右辺 $\chi(M)$ は $V$ を含まない、純粋に $M$ の形だけの量（位相幾何の $\chi=\sum(-1)^k b_k$ ）。左辺は $V$ に依る零点勘定。それが一致する——だから「 $\chi(M)\ne0$ なら、どんなベクトル場も必ず零点を持つ」。これが毛玉の定理の一般形です。

証明の要は二段構えです。 $(1)$ 総和は $V$ に依らない：二つのベクトル場 $V_0, V_1$ を線形補間でつなぐと、前章の交叉理論（零点＝接束の零切断との交叉、その符号付き総和はホモトピー不変）より、指数総和は同じ。だから総和は $M$ の不変量。 $(2)$ その不変量が $\chi(M)$ に等しい：うまいベクトル場を一つ選んで両辺を計算すればよい。最良の選択が、次章以降でも主役になるモース関数の勾配ベクトル場です。

証明（χ に等しいこと：勾配場で計算）

$M$ 上のモース関数 $f$ （臨界点がすべて非退化、第8章）をとり、その勾配ベクトル場 $V=\nabla f$ を考える。 $V$ の零点は、ちょうど $f$ の臨界点。非退化臨界点の指数（この零点の写像度）は、 $(-1)^{\lambda}$ に等しい（ $\lambda$ はモース指数＝ヘッセ行列の負の固有値の数：極小 $\lambda=0$ で $+1$ 、鞍点 $\lambda=1$ で $-1$ 、極大 $\lambda=2$ （ $n=2$ ）で $+1$ …）。よって

\sum_p\operatorname{ind}_p(\nabla f)=\sum_{\text{臨界点}}(-1)^{\lambda}=\sum_k(-1)^k c_k,

ここで $c_k$ は指数 $k$ の臨界点の個数。第10章で見るように、この交代和は $\chi(M)$ に等しい（モース理論のオイラー標数公式）。ゆえに総和 $=\chi(M)$ 。 $(1)$ より一般の $V$ でも同じ。

「勾配場の零点＝関数の臨界点、その指数の交代和＝オイラー標数」。ポアンカレ–ホップは、次章から始まる モース理論への扉でもあるのです。指数 $(-1)^\lambda$ という符号が、モース指数 $\lambda$ を通じてオイラー標数の交代和 $\sum(-1)^k c_k$ を生む——この一本の糸が、Part II と Part III をつなぎます。

毛玉の定理を仕留める

定理毛玉の定理（Hairy Ball Theorem）

偶数次元球面 $S^{2m}$ 上には、至る所 $0$ でない連続な接ベクトル場は存在しない（必ずつむじができる）。奇数次元球面 $S^{2m-1}$ には存在する。

証明

$\chi(S^{2m})=2\ne0$ 。もし至る所 $0$ でない接ベクトル場があれば零点なし、指数総和 $=0$ 。だがポアンカレ–ホップより総和 $=\chi(S^{2m})=2$ 。 $0\ne2$ で矛盾。ゆえに存在しない。
奇数次元球面 $S^{2m-1}\subset\mathbb{R}^{2m}$ では $\chi=0$ で、実際 $V(x_1,x_2,\dots)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3,\dots)$ が至る所 $0$ でない接ベクトル場を与える。

「球面（ $\chi=2$ ）には必ずつむじ、浮き輪＝トーラス（ $\chi=0$ ）にはつむじ無しのベクトル場が張れる」。なぜ球かトーラスかで結論が変わるのか——それは $\chi$ が違うから。多様体論の HairyBall の実演で「指数の総和が $\chi(S^2)=2$ 」と見た事実に、ここで完全な証明が与えられました。地球上の風（球面の接ベクトル場）には、必ずどこかに「無風の目（つむじ）」がある——台風の目のトポロジー的な必然性です。

何を成し遂げたか

ポアンカレ–ホップは、この分野の標語「微分の情報から大域的な形を読む」の完成形の一つです。左辺のベクトル場の零点は、各点での微分（ $V$ がどう $0$ に近づくか）という局所の情報。右辺のオイラー標数は多様体の大域の位相。両者が厳密に等しい。同じ精神の定理が微分幾何のガウス–ボンネ（曲率の積分 $=2\pi\chi$ ）で、実はガウス–ボンネはポアンカレ–ホップと双子です（曲率もベクトル場の指数も、 $\chi$ という同じ大域量を別の局所量から復元している）。局所と大域を結ぶ——それが微分位相幾何の心臓部です。

注意つまずきポイント

指数は「写像度」であって零点の個数ではない。 湧き出しも沈み込みも渦も指数 $+1$ 、鞍点は $-1$ 。向きの回り方（符号付き）を数える。零点が多くても指数総和は $\chi$ に固定される。
総和が不変なのが本質。 個々のベクトル場は零点の位置も個数も違うが、指数の符号付き総和は必ず $\chi(M)$ 。ベクトル場をいじって零点を減らそうとしても、指数の和は変えられない。
$\chi=0$ が零点なしベクトル場の存在条件。 トーラス・奇数次元球面（ $\chi=0$ ）では至る所非零のベクトル場が存在。 $\chi\ne0$ （偶数次元球面など）では不可能。存在・非存在が $\chi$ で完全に決まる。

この章のまとめ

ベクトル場の孤立零点の指数 $\operatorname{ind}_p(V)$ ＝方向写像 $V/|V|$ の写像度（つむじ・泉 $+1$ 、鞍点 $-1$ ）。
ポアンカレ–ホップの定理：指数の総和 $=\chi(M)$ （ベクトル場に依らない、 $M$ の形だけの量）。証明は「総和が不変（交叉理論）＋勾配場で計算（ $\sum(-1)^\lambda=\chi$ ）」。
毛玉の定理： $\chi(S^{2m})=2\ne0$ より偶数次元球面に非零ベクトル場なし。奇数次元・トーラスは $\chi=0$ で存在。局所（零点）と大域（ $\chi$ ）を結ぶ、ガウス–ボンネと双子の定理。

証明で「勾配場の零点＝関数の臨界点」を使いました。この関数の臨界点そのものを主役にすると、多様体の形を臨界点から復元できる——それがモース理論。次章から後半、 $M$ の形を「山と谷と峠」から読み解きます。

第7章 ポアンカレ–ホップの定理