第3章有界線形作用素

無限次元の「行列」

有限次元では、線形写像は行列で表せました。無限次元でも、空間から空間への線形写像——線形作用素——を考えます。微分 $\frac{d}{dx}$ 、積分 $\int$ 、掛け算 $f\mapsto gf$ など、解析の操作はみな線形作用素です。これらを「無限次元の行列」として統一的に扱うのが、この章のねらいです。

ただし無限次元では、線形なだけでは扱いにくい。連続性（近い入力を近い出力に写す）が要ります。そしてうれしいことに、線形写像では連続性が「有界性」というチェックしやすい条件に化けます。

定義有界線形作用素

ノルム空間 $X,Y$ の間の線形写像 $T:X\to Y$ が有界であるとは、ある定数 $C\ge0$ で

\|Tx\|_Y\le C\,\|x\|_X\qquad(\forall x\in X)

が成り立つこと。最小の $C$ を作用素ノルム

\|T\|=\sup_{x\ne0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|

という。

作用素ノルムは「 $T$ がベクトルを最大どれだけ引き伸ばすか」の倍率。単位球を $T$ で写したとき、いちばん遠くへ飛ぶ点までの距離です。 $\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|$ が常に成り立ちます。

有界作用素＝「引き伸ばし倍率」が有限な線形写像。作用素ノルム $\|T\|$ がその倍率。

連続＝有界

線形写像では、連続性と有界性が完全に一致します。だから難しい「連続」を、計算しやすい「有界」で判定できます。

定理連続 ⟺ 有界

線形写像 $T:X\to Y$ について、次は同値： (1) $T$ は連続、(2) $T$ は $0$ で連続、(3) $T$ は有界。

証明

(3)⇒(1)： $\|Tx-Tx_0\|=\|T(x-x_0)\|\le\|T\|\,\|x-x_0\|$ より、 $x\to x_0$ で $Tx\to Tx_0$ 。 (1)⇒(2)：明らか。 (2)⇒(3)： $0$ で連続なら、 $\varepsilon=1$ に対しある $\delta>0$ で $\|x\|\le\delta\Rightarrow\|Tx\|\le1$ 。任意の $x\ne0$ に $\frac{\delta x}{\|x\|}$ （ノルム $\delta$ ）を代入すると $\|T(\frac{\delta x}{\|x\|})\|\le1$ 、斉次性より $\|Tx\|\le\frac1\delta\|x\|$ 。ゆえに有界（ $C=1/\delta$ ）。∎

線形性のおかげで「一点（ $0$ ）での連続」が「全体での連続」に、そして「有界」に等しくなる。有限次元では線形写像は自動的に連続でしたが、無限次元では非有界（不連続）な線形作用素が存在します。代表が微分作用素です。

例微分は非有界作用素

$C^1[0,1]\subset C[0,1]$ 上で微分 $D=\frac{d}{dx}$ を考える。 $f_n(x)=\sin(n\pi x)$ は $\|f_n\|_\infty=1$ だが $Df_n=n\pi\cos(n\pi x)$ で $\|Df_n\|_\infty=n\pi\to\infty$ 。引き伸ばし倍率が無限大——微分は有界でない。だから微分方程式では、扱いやすい有界作用素だけでなく非有界作用素の理論（定義域に注意）が要る。これが関数解析を難しくも豊かにもする。

作用素の空間 $B(X,Y)$

有界作用素の全体は、それ自身がノルム空間になります。しかも $Y$ が完備なら完備。「作用素たちの空間」を考えられるのが、無限次元線形代数の醍醐味です。

定理 $B(X,Y)$ はバナッハ空間

$X,Y$ をノルム空間とし、有界線形作用素の全体を $B(X,Y)$ とする。作用素ノルムのもとで $B(X,Y)$ はノルム空間。 $Y$ がバナッハなら $B(X,Y)$ もバナッハである。

$Y=$ スカラー体（ $\mathbb R,\mathbb C$ ）の特別な場合、 $B(X,\mathbb R)$ を双対空間 $X^*$ といい、その元を有界線形汎関数といいます（第7・8章の主役）。 $Y$ がスカラー体は完備なので、 $X^*$ はつねにバナッハ空間——これは後で効いてきます。

ノイマン級数：逆作用素を級数で作る

方程式 $Tx=y$ を解くには逆作用素 $T^{-1}$ が欲しい。 $T$ が恒等作用素 $I$ に近ければ、逆を幾何級数で作れます。数の $\frac1{1-r}=1+r+r^2+\cdots$ （ $|r|<1$ ）の作用素版です。前章の完備性がここで効きます。

定理ノイマン級数

バナッハ空間 $X$ 上の有界作用素 $T$ が $\|T\|<1$ なら、 $I-T$ は可逆で

(I-T)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty T^n=I+T+T^2+\cdots,\qquad \|(I-T)^{-1}\|\le\frac1{1-\|T\|}.

証明

$\|T^n\|\le\|T\|^n$ （作用素ノルムの劣乗法性 $\|ST\|\le\|S\|\|T\|$ から）で、 $\sum\|T^n\|\le\sum\|T\|^n=\frac1{1-\|T\|}<\infty$ 。 $B(X)$ はバナッハ（ $X$ 完備）なので絶対収束は収束（第2章）、 $S=\sum T^n$ が定まる。 $(I-T)S=S(I-T)=\sum T^n-\sum T^{n+1}=I$ （望遠鏡和）より $S=(I-T)^{-1}$ 。∎

ノイマン級数は「近似解を反復改良すると真の解に収束する」という反復法の理論的裏付けであり、可逆作用素の全体が 開集合（可逆な $T$ を少し動かしても可逆）であることも導きます。前章の「絶対収束⇒収束」（完備性）が、逆作用素の存在という具体的な果実を生みました。

つまずきポイント

注意よくある誤解

連続＝有界（線形写像のみ）。 一般の写像では別だが、線形なら一致。だから「有界」を計算して連続を判定する。
無限次元では非有界作用素がある。 微分が代表例。有限次元の「線形なら連続」は無限次元で崩れる。非有界作用素は定義域を全空間にとれず、扱いに注意が要る。
作用素ノルムは劣乗法的 $\|ST\|\le\|S\|\|T\|$ 、等号でない。 引き伸ばし倍率の積の上界。ノイマン級数の収束はこれで効く。
ノイマン級数は $\|T\|<1$ が条件。 数の幾何級数 $|r|<1$ と同じ。可逆性は「 $I$ に十分近い」ときの十分条件であって、必要条件ではない。

この章のまとめ

有界線形作用素＝引き伸ばし倍率 $\|T\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|$ が有限な線形写像。線形写像では連続 ⟺ 有界。無限次元には非有界作用素（微分）がある。
作用素の全体 $B(X,Y)$ はノルム空間で、 $Y$ 完備なら完備。 $X^*=B(X,\mathbb R)$ が双対空間（つねにバナッハ）。
ノイマン級数： $\|T\|<1$ なら $(I-T)^{-1}=\sum T^n$ 。完備性（絶対収束⇒収束）が逆作用素を生み、可逆作用素の全体は開集合。
Part I（ノルム・バナッハ・作用素）はここまで。次章から、内積という強力な追加構造をもつヒルベルト空間へ。まず直交射影と最良近似の幾何を作ります。

次章では、内積・直交・そして関数解析で最も使われる定理の一つ——直交射影による最良近似——を導入します。

第3章 有界線形作用素