⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第4章 ヒルベルト空間と直交射影

長さだけでなく「角度」を測りたい

バナッハ空間では長さ（ノルム）が測れました。でも線形代数の幾何——直交、射影、正射影による 最短距離——を無限次元でも使いたい。それには内積が要ります。内積があれば「二つのベクトルのなす角」「直交」 が定義でき、ユークリッド幾何の道具がまるごと無限次元へ持ち込めます。内積をもつ完備空間がヒルベルト空間です。

測度論で L2L^2 が内積 ⟨f,g⟩=∫fg\langle f,g\rangle=\int fg をもつヒルベルト空間だと見ました。 ここではその一般論を、幾何の視点で作り直します。

定義 内積空間・ヒルベルト空間

ベクトル空間 HH 上の内積 ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle は、⟨x,x⟩≥0\langle x,x\rangle\ge0（=0  ⟺  x=0=0\iff x=0）、 第一変数について線形、⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle} をみたす。これから ∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} がノルムになる。このノルムで完備な内積空間をヒルベルト空間という。 ⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0 のとき x,yx,y は直交（x⊥yx\perp y）という。

ヒルベルト空間＝内積をもつ完備空間。長さに加えて角度・直交が測れ、ユークリッド幾何が無限次元で使える。

内積がもたらす二つの基本道具

内積からすぐ出る、しかし強力な二つの不等式・等式。以後の議論の土台です。

定理 コーシー–シュワルツと平行四辺形則

  1. コーシー–シュワルツ：∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\,\|y\|。等号は x,yx,y が平行なとき。
  2. 平行四辺形則：∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2。

証明

(1) y≠0y\ne0 とし λ=⟨x,y⟩/∥y∥2\lambda=\langle x,y\rangle/\|y\|^2。0≤∥x−λy∥2=∥x∥2−∣⟨x,y⟩∣2/∥y∥20\le\|x-\lambda y\|^2=\|x\|^2-|\langle x,y\rangle|^2/\|y\|^2 を 整理して得る。(2) ∥x±y∥2=∥x∥2±2Re⁡⟨x,y⟩+∥y∥2\|x\pm y\|^2=\|x\|^2\pm2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|^2 を足す。∎

平行四辺形則は「そのノルムが内積から来るか」を判定する目印です。L2L^2 は満たすがゼロでない p≠2p\ne2 の LpL^p は 満たさない——内積が入るのは p=2p=2 だけ（測度論で触れた L2L^2 の特権の理由）。

最良近似は直交射影——関数解析でいちばん使う定理

ヒルベルト空間の核心がこれです。「与えられた点 xx に、部分空間 MM の中でいちばん近い点は？」——答えは xx から MM へ下ろした垂線の足（直交射影）。誤差ベクトルが MM と直交します。有限次元の直感が、 そのまま無限次元で成り立つ。まず体感してください。

キャンバスをクリックで点 v を移動

点 vv を動かすと、部分空間 MM（直線）への射影 pp が「MM の中で vv にいちばん近い点」になり、誤差 v−pv-p が MM と直交（直角マーク）します。MM 上の別の点はどれも vv から遠い。そして ∥v∥2=∥p∥2+∥v−p∥2\|v\|^2=\|p\|^2+\|v-p\|^2 （ピタゴラス）。これらが無限次元でもそっくり成り立つ、というのが射影定理です。

定理 射影定理（最良近似）

HH をヒルベルト空間、M⊆HM\subseteq H を閉部分空間とする。任意の x∈Hx\in H に対し、

∥x−p∥=min⁡m∈M∥x−m∥\|x-p\|=\min_{m\in M}\|x-m\|

を達成する p∈Mp\in M が一意に存在し、それは x−p⊥Mx-p\perp M（誤差が MM に直交）で特徴づけられる。 p=PMxp=P_M x を直交射影という。

証明

d=inf⁡m∈M∥x−m∥d=\inf_{m\in M}\|x-m\| とし、∥x−mn∥→d\|x-m_n\|\to d なる列をとる。平行四辺形則を x−mn, x−mkx-m_n,\ x-m_k に当てると

∥mn−mk∥2=2∥x−mn∥2+2∥x−mk∥2−4∥x−mn+mk2∥2≤2∥x−mn∥2+2∥x−mk∥2−4d2\|m_n-m_k\|^2=2\|x-m_n\|^2+2\|x-m_k\|^2-4\Big\|x-\tfrac{m_n+m_k}2\Big\|^2\le 2\|x-m_n\|^2+2\|x-m_k\|^2-4d^2

（mn+mk2∈M\frac{m_n+m_k}2\in M ゆえ最後の項 ≥d2\ge d^2）。右辺は n,k→∞n,k\to\infty で 2d2+2d2−4d2=02d^2+2d^2-4d^2=0。よって {mn}\{m_n\} は コーシー列。完備性と MM の閉性より mn→p∈Mm_n\to p\in M、∥x−p∥=d\|x-p\|=d。直交性は、任意の m∈M, t∈Rm\in M,\ t\in\mathbb R で ∥x−p−tm∥2≥∥x−p∥2\|x-p-tm\|^2\ge\|x-p\|^2 を tt で展開すると ⟨x−p,m⟩=0\langle x-p,m\rangle=0 が出る。一意性も直交性から従う。∎

証明で効いたのは平行四辺形則（内積のおかげ）と完備性（ヒルベルトのおかげ）。この二つが揃って初めて 「最良近似が存在する」。前章までの無限次元の不安（コンパクト性の喪失）を、内積＋完備性で乗り越えた瞬間です。 最小化列が直接コーシー列になり、コンパクト性なしで収束先が捕まえられます。

直交補空間と直和分解

射影定理は、空間を「MM とそれに直交する部分」にきれいに分ける分解を生みます。

定義 直交補空間・直交直和

M⊥={y∈H:⟨y,m⟩=0 (∀m∈M)}M^\perp=\{y\in H:\langle y,m\rangle=0\ (\forall m\in M)\} を MM の直交補空間という。 MM が閉部分空間なら

H=M⊕M⊥(任意の x が x=PMx+(x−PMx), PMx∈M, x−PMx∈M⊥ と一意分解).H=M\oplus M^\perp\qquad(\text{任意の }x\text{ が }x=P_Mx+(x-P_Mx),\ P_Mx\in M,\ x-P_Mx\in M^\perp\text{ と一意分解}).

任意のベクトルが「MM 成分」と「MM に垂直な成分」に一意に分かれる。射影 PMP_M は PM2=PMP_M^2=P_M（一度射影すれば もう動かない）で ∥PM∥≤1\|P_M\|\le1 の有界作用素。この直和分解が、次章のフーリエ展開（正規直交系への射影）と、 第6章のリースの表現定理の土台になります。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 射影定理には MM が閉であることが必要。 閉でない部分空間だと最良近似が存在しないことがある（極限が はみ出す）。無限次元では「部分空間が閉か」を必ず確認する。
  • 最良近似の特徴づけは「誤差が直交」。 最小性を直接示すより、x−p⊥Mx-p\perp M を確かめる方が実用的。計算では こちらを使う。
  • 内積が入るのは平行四辺形則を満たすノルムだけ。 L2L^2 は OK、L1,L∞L^1,L^\infty はダメ。だから「ヒルベルト」は 「バナッハ」より真に強い。
  • PMP_M は線形かつ PM2=PMP_M^2=P_M。 射影は冪等。一度垂線を下ろせば、もう一度下ろしても同じ点。

この章のまとめ

  • ヒルベルト空間＝内積をもつ完備空間。長さに加え角度・直交が測れる。L2L^2 が代表。内積の判定は平行四辺形則（p=2p=2 だけ）。
  • 射影定理：閉部分空間 MM への最良近似は直交射影 PMxP_Mx で一意に存在し、誤差 x−PMxx-P_Mx が MM に直交。証明は平行四辺形則＋完備性（最小化列がコーシー列に）。
  • 直交補空間により H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perp と一意分解。PMP_M は PM2=PMP_M^2=P_M の有界作用素。
  • 次章では、この射影を正規直交系に対して行い、フーリエ展開・ベッセルの不等式・パーセバルの等式を導きます。

次章では、正規直交系への直交射影としてフーリエ展開を捉え、ベッセルの不等式とパーセバルの等式を証明します。