第2章バナッハ空間と完備性

「収束先が空間の中にある」保証

前章で、無限次元では単位球がコンパクトでなく、「有界列→収束部分列」が使えないと知りました。では、無限次元で解の存在をどう保証するのか。第一の武器が完備性です。集合と位相で $\mathbb Q$ に穴が空いている（ $\sqrt2$ に迫る有理数列の極限が外にある）のを、完備化して $\mathbb R$ を作った——あの話の関数空間版です。

関数空間でも同じ心配があります。近似列（コーシー列）を作ったのに、その極限が空間の外へ飛び出したら、「近似で解を作る」戦略が使えない。完備性は「コーシー列の極限が必ず空間の中にある」保証。これがある空間をバナッハ空間と呼びます。

定義バナッハ空間

ノルム空間 $X$ が完備——すべてのコーシー列（ $\|x_n-x_m\|\to0$ ）が $X$ の点に収束する ——であるとき、 $X$ をバナッハ空間という。

バナッハ空間＝完備なノルム空間。コーシー列が必ず空間内で収束する。近似・極限操作が空間の中で完結する。

どの空間がバナッハか

前章のノルム空間の例が、完備かどうかを確認します。完備性の有無が、その空間の“使い勝手”を決めます。

定理代表的なバナッハ空間

$\mathbb R^n,\mathbb C^n$ （有限次元）はすべてバナッハ。
$\ell^p\ (1\le p\le\infty)$ はバナッハ。
$C[a,b]$ （一様ノルム $\|\cdot\|_\infty$ ）はバナッハ。
$L^p[a,b]\ (1\le p\le\infty)$ はバナッハ（リース–フィッシャーの定理、測度論）。

$C[a,b]$ が一様ノルムで完備なのは、「連続関数の一様収束極限は連続」（微積分）という事実そのもの。一方、同じ $C[a,b]$ に $L^1$ ノルムを入れると完備でない——連続関数のコーシー列の極限が不連続関数になり、空間の外へ出てしまう。ノルムを変えると完備性が変わる（前章のノルム非同値の帰結）。だから $L^p$ を作るにはルベーグ積分が必要でした——リーマン積分では穴が埋まらないのです。

注意完備でない例と、その完備化

$C[a,b]$ に $L^1$ ノルムを入れた空間は完備でない。その「穴」を埋めた完備化がまさに $L^1[a,b]$ 。 $\mathbb Q\to\mathbb R$ と同じ構図で、ルベーグ積分は「関数空間の穴を埋める」役割を果たす。関数解析が測度論を土台にする理由がここにある（測度論第11章の回収）。

完備性の御利益：絶対収束は収束する

完備性が具体的に何を可能にするか。いちばん基本的で強力なのが「級数の扱い」です。有限和なら問題ないですが、無限級数 $\sum x_k$ （各 $x_k\in X$ ）が収束するか——これを保証する簡単な判定条件が、完備性から出ます。

定理絶対収束判定

バナッハ空間 $X$ で、 $\sum_{k=1}^\infty\|x_k\|<\infty$ （ノルムの和が有限＝絶対収束）ならば、級数 $\sum_{k=1}^\infty x_k$ は $X$ の点に収束する。

証明

部分和 $S_n=\sum_{k=1}^n x_k$ を考える。 $m>n$ で三角不等式より $\|S_m-S_n\|=\big\|\sum_{k=n+1}^m x_k\big\|\le\sum_{k=n+1}^m\|x_k\|$ 。右辺は収束級数 $\sum\|x_k\|$ のしっぽで、 $n\to\infty$ で $0$ 。よって $\{S_n\}$ はコーシー列。完備性より $S_n$ は収束する。∎

「ノルムの和（普通の実数の級数）が収束するかを見るだけで、ベクトルの級数の収束が言える」——完備性のおかげで、無限次元の収束問題が、一次元の実数の級数の問題に帰着します。この判定は次章の逆作用素（ノイマン級数）で決定的に効きます。

例指数関数を作用素で作る

バナッハ空間上の有界作用素 $T$ （次章）に対し、 $\sum_{n=0}^\infty\frac{T^n}{n!}$ は $\sum\frac{\|T\|^n}{n!}=e^{\|T\|}<\infty$ より絶対収束し、作用素 $e^T$ を定める。行列の指数関数（微分方程式）が無限次元へ拡張される。完備性が「無限級数で新しい作用素を作る」ことを許す。

つまずきポイント

注意よくある誤解

完備性はノルムに依存する。 同じベクトル空間でも、ノルムを変えると完備だったり不完備だったり（ $C[a,b]$ は $\|\cdot\|_\infty$ で完備、 $\|\cdot\|_1$ で不完備）。「空間が完備」とは常に「このノルムで」の話。
絶対収束 ⇒ 収束、は完備性が必要。 実数では当たり前だが、不完備空間では絶対収束しても極限が外へ出る。逆に「絶対収束 ⇒ 収束」が全級数で成り立つことは完備性と同値。
コーシー列 ⇒ 収束、が完備性。 「収束 ⇒ コーシー」は常に真で無意味。完備性は逆向き（穴がない）。
$L^p$ の完備性はルベーグ積分あってこそ。 リーマン積分で作った関数空間は不完備。だから測度論が土台に要る。

この章のまとめ

バナッハ空間＝完備なノルム空間。コーシー列が必ず空間内で収束し、近似・極限操作が完結する。 $\mathbb R^n,\ \ell^p,\ C[a,b]_\infty,\ L^p$ がバナッハ。
完備性はノルム依存： $C[a,b]$ は $\|\cdot\|_\infty$ で完備、 $\|\cdot\|_1$ で不完備（その完備化が $L^1$ ）。ルベーグ積分が関数空間の穴を埋める。
完備性の御利益：絶対収束 $\sum\|x_k\|<\infty$ ⇒ 級数収束。無限次元の収束を実数の級数に帰着。作用素の指数関数 $e^T$ もこれで作れる。
次章では、この舞台の上で「無限次元の行列」＝有界線形作用素を導入し、作用素ノルムとノイマン級数で逆作用素を作ります。

次章では、有界線形作用素・作用素ノルム・作用素の空間 $B(X,Y)$ を定義し、ノイマン級数で逆作用素を構成します。

第2章 バナッハ空間と完備性