⟐ 数学の作り方 How to make Mathematics

第1章 群とは何か

「対称性」に共通する骨組み

正三角形を 120∘120^\circ 回してもひっくり返しても、同じ形に見えます。トランプを切る操作、 ルービックキューブの回転、整数の足し算、方程式の解の入れ替え——一見バラバラなこれらに、 同じ構造が潜んでいます。

共通点を並べてみましょう。（1）操作を続けて行うとまた同じ種類の操作になる。（2）「何もしない」操作がある。 （3）どの操作にも元に戻す逆操作がある。（4）続ける順序をまとめても結果は同じ（結合法則）。 この4つだけを抜き出したものが群です。「対称性そのもの」を数学の対象にする——群論の出発点であり、 線形代数やガロア理論、幾何まで貫く、抽象代数の入口です。

群 ＝「続けられる・戻せる可逆な操作」の集まり。中身（回転か足し算か）は忘れ、合成の構造だけを見る。

群の定義

「操作を続ける」を二項演算 ∗\ast として、上の4条件を公理にします。

定義 群

集合 GG と二項演算 ∗:G×G→G\ast:G\times G\to G の組が群とは、次を満たすこと：

  1. （結合法則）(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)。
  2. （単位元）ある e∈Ge\in G で、すべての aa に e∗a=a∗e=ae\ast a=a\ast e=a。
  3. （逆元）各 aa にある a−1a^{-1} で a∗a−1=a−1∗a=ea\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e。 （演算が閉じている——a∗b∈Ga\ast b\in G——は「二項演算」に含めた。）さらに a∗b=b∗aa\ast b=b\ast a が常に成り立つとき可換群（アーベル群）という。

以後、演算 ∗\ast は省略して abab と書き、単位元を ee（または 11）、aa を nn 回かけたものを ana^n と書きます。 可換群では演算を ++、単位元を 00 と書くこともあります（加法的記法）。定義がこれだけ短いのに、 恐ろしく広い対象を捉えます。

例 群の例

  • (Z,+)(\mathbb Z,+)、(Q,+)(\mathbb Q,+)、(R,+)(\mathbb R,+)：整数・有理数・実数の加法（可換、単位元 00、逆元 −a-a）。
  • (Q×,⋅)(\mathbb Q^\times,\cdot)、(R×,⋅)(\mathbb R^\times,\cdot)：00 を除く数の乗法（可換、単位元 11）。
  • 対称群 SnS_n：nn 個のものの並べ替え（置換）全体、演算は合成（n≥3n\ge3 で非可換）。
  • 二面体群 DnD_n：正 nn 角形の回転と鏡映（位数 2n2n、非可換）。
  • 巡回群 Zn\mathbb Z_n：時計のように nn で一周する加法（可換）。
  • 一般線形群 GLn(R)GL_n(\mathbb R)：正則な n×nn\times n 行列（積、非可換）——線形代数との接点。

有限群はケイリー表（九九のような積の表）で全体を見渡せます。下で群を選んでみてください。 表の各行・各列に同じ元がちょうど1回ずつ現れる（ラテン方陣）のは、逆元があることの現れです。 （下部の色分けは第3章の剰余類。今は表そのものと、ZZ が可換＝表が対角線対称、DD・QQ が非可換＝非対称なことを見てください。）

基本性質

公理から、当たり前に思える事実を証明します。「当たり前」を公理だけから導けることが、抽象化の健全さの証拠です。

命題 単位元・逆元の一意性と消去律

群 GG において：（a）単位元は一意。（b）各元の逆元は一意で (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}。 （c）消去律：ab=ac⇒b=cab=ac\Rightarrow b=c、ba=ca⇒b=cba=ca\Rightarrow b=c。

証明

（a）e,e′e,e' がともに単位元なら e=ee′=e′e=ee'=e'（e′e' が単位元だから ee′=eee'=e、ee が単位元だから ee′=e′ee'=e'）。 （b）aa の逆元 b,b′b,b' があれば b=be=b(ab′)=(ba)b′=eb′=b′b=be=b(ab')=(ba)b'=eb'=b'。(ab)(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aa−1=e(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=e より (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}（順序が逆になる——靴と靴下を脱ぐ順）。 （c）ab=acab=ac の両辺に左から a−1a^{-1}：b=eb=(a−1a)b=a−1(ab)=a−1(ac)=cb=eb=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)=c。∎

消去律は「両辺を割ってよい」という、方程式を解く基本操作の保証です。逆元の存在だけからこれが出ます。

部分群

群の中の、それ自身また群になっている部分に注目します。

定義 部分群

GG の空でない部分集合 HH が部分群（H≤GH\le G）とは、GG の演算のもとで HH 自身が群をなすこと。

いちいち全公理を確かめるのは面倒なので、実用的な判定法があります。

定理 部分群の判定

GG の空でない部分集合 HH について、次は同値： （1）H≤GH\le G。（2）a,b∈H⇒ab∈Ha,b\in H\Rightarrow ab\in H かつ a∈H⇒a−1∈Ha\in H\Rightarrow a^{-1}\in H（積と逆で閉じる）。 （3）a,b∈H⇒ab−1∈Ha,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H。特に有限の HH なら「積で閉じる」だけで部分群。

証明

(1)⇒(2) は定義。(2)⇒(3)：b∈Hb\in H なら b−1∈Hb^{-1}\in H、よって ab−1∈Hab^{-1}\in H。(3)⇒(1)：H≠∅H\ne\emptyset なので a∈Ha\in H をとると aa−1=e∈Haa^{-1}=e\in H（単位元）。e,a∈He,a\in H から ea−1=a−1∈Hea^{-1}=a^{-1}\in H（逆元）。a,b∈Ha,b\in H なら b−1∈Hb^{-1}\in H より a(b−1)−1=ab∈Ha(b^{-1})^{-1}=ab\in H（閉性）。結合法則は GG から継承。∎

「有限なら積で閉じるだけでよい」のは、a∈Ha\in H の累乗 a,a2,…a,a^2,\dots が有限個ゆえどこかで一致し、そこから ee と a−1a^{-1} が aa の累乗として HH に入るためです（次章の位数で精密化）。どんな群にも自明な部分群 {e}\{e\} と GG 自身があります。

位数

定義 群の位数・元の位数

群 GG の要素数 ∣G∣|G| を位数という（無限のこともある）。元 a∈Ga\in G について、an=ea^n=e となる最小の正整数 nn を aa の位数 ord(a)\mathrm{ord}(a) という（存在しなければ位数 ∞\infty）。

元の位数は「その元だけを繰り返して単位元に戻るまでの周期」。D4D_4 の回転 rr は位数 44、鏡映 ss は位数 22。 群の位数（全体の大きさ）と元の位数（周期）は、次章の巡回群、第3章のラグランジュの定理で深く結びつきます。

つまずきポイント

注意 よくある誤解

  • 群は可換とは限らない。 ab≠baab\ne ba が普通（S3S_3、行列）。可換なもの（アーベル群）は特別な良いクラス。(ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} の順序反転を忘れない。
  • 部分群は「部分集合＋演算で閉じる」だけでは不十分（無限群では）。 逆元で閉じることも要る。有限群では積の閉性だけで足りる。
  • 「演算」は掛け算とは限らない。 (Z,+)(\mathbb Z,+) では演算が加法、単位元が 00、逆元が −a-a。記号 ab,e,a−1ab,e,a^{-1} は抽象的な演算の記法。

この章のまとめ

  • 群は「可逆な操作の合成」の抽象化：結合法則・単位元・逆元の3公理。中身を忘れ合成の構造だけを見る。可換なものがアーベル群。
  • 公理だけから単位元・逆元の一意性・消去律が出る。部分群は積と逆で閉じた部分集合（判定法あり、有限なら積の閉性のみ）。
  • 群の位数（大きさ）と元の位数（周期）が基本量。ケイリー表は有限群の全貌を映す。

次章は、たった一つの元から生成される最も単純な群——巡回群と、元の位数の理論を掘り下げます。