第2章巡回群と生成

一つの元だけで、群はどこまで作れるか

群の中で一つの元 $a$ を選び、それを繰り返しかけていくとどうなるでしょう。 $a,\ a^2,\ a^3,\dots$ 、そして逆向きに $a^{-1},a^{-2},\dots$ 、それに $e=a^0$ 。これらだけですでに一つの群（部分群）ができます。たった一つの元から生成される群——これが巡回群、最も単純で、最も基本的な群です。

時計を思い浮かべてください。 $12$ 時から $1$ 時間ずつ進めると一周して戻る。この「一周する加法」が巡回群 $\mathbb Z_n$ です。単純ですが侮れません。すべてのアーベル群は巡回群の組み合わせで作れ（第10章）、巡回群の生成元の個数は数論のオイラー関数そのもの。群論と初等整数論が最初に出会う場所です。

巡回群＝一つの元 $a$ の累乗だけからなる群 $\langle a\rangle$ 。時計算術 $\mathbb Z_n$ と無限巡回群 $\mathbb Z$ の2種類しかない。

生成される部分群と元の位数

定義生成される巡回部分群

$a\in G$ に対し $\langle a\rangle=\{a^n:n\in\mathbb Z\}$ は $G$ の部分群で、 $a$ を含む最小の部分群（a が生成する巡回部分群）。 $G=\langle a\rangle$ となる $a$ があるとき $G$ を巡回群という。

前章の「元の位数」が、この部分群の大きさに一致します。

命題位数と巡回部分群

$\mathrm{ord}(a)=n<\infty$ なら $\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\}$ で $|\langle a\rangle|=n$ 。このとき $a^m=e\iff n\mid m$ 。 $\mathrm{ord}(a)=\infty$ なら $a^i\ (i\in\mathbb Z)$ はすべて相異なり $\langle a\rangle\cong\mathbb Z$ 。

証明

$n=\mathrm{ord}(a)$ とする。 $a^i=a^j\ (0\le i<j<n)$ なら $a^{j-i}=e$ で $0<j-i<n$ 、位数の最小性に反する。よって $e,\dots,a^{n-1}$ は相異なる $n$ 個。任意の $a^m$ は $m=qn+r\ (0\le r<n)$ と割り算して $a^m=(a^n)^q a^r=a^r$ なので $\langle a\rangle$ はこの $n$ 個で尽きる。 $a^m=e\iff a^r=e\iff r=0\iff n\mid m$ 。∎

元の位数＝その元が生成する部分群の大きさ。この一致が、次章のラグランジュの定理で「元の位数が群の位数を割る」という美しい結論を生みます。証明の道具は割り算（ $m=qn+r$ ）——巡回群の理論は整数の割り算の理論とほぼ同じです。

巡回群の分類

定理巡回群の分類

巡回群は同型を除いて、無限なら $\mathbb Z$ （整数の加法群）、位数 $n$ なら $\mathbb Z_n$ （ $\bmod\,n$ の加法群）のみ。

証明

$G=\langle a\rangle$ とし、写像 $\varphi:\mathbb Z\to G,\ \varphi(k)=a^k$ を考える。 $\varphi(k+l)=a^{k+l}=a^ka^l=\varphi(k)\varphi(l)$ ゆえ準同型（次章）で全射。 $\mathrm{ord}(a)=\infty$ なら単射でもあり $G\cong\mathbb Z$ 。 $\mathrm{ord}(a)=n$ なら $\varphi(k)=e\iff n\mid k$ なので、 $\varphi$ は $\mathbb Z_n\to G$ の同型を誘導し $G\cong\mathbb Z_n$ 。∎

「一つの元で生成される」という条件だけで、群は本質的に2種類（ $\mathbb Z$ か $\mathbb Z_n$ ）に決まってしまう。抽象的な群が、なじみ深い整数の世界に完全に翻訳されるのです。

巡回群の部分群

巡回群の部分群は、驚くほど整然としています。整数 $\mathbb Z$ の部分群がすべて $n\mathbb Z$ （ $n$ の倍数）だったことの反映です。

定理巡回群の部分群

巡回群の部分群はすべて巡回群。とくに $\mathbb Z_n=\langle a\rangle$ の部分群は、 $n$ の各約数 $d$ に対し位数 $d$ のものがちょうど一つ $\langle a^{n/d}\rangle$ ずつ、それで全部。

証明

部分群 $H\le\langle a\rangle$ が $\{e\}$ でないとする。 $H$ に含まれる $a^k$ のうち $k>0$ が最小のものを $a^m$ とする。任意の $a^k\in H$ は $k=qm+r\ (0\le r<m)$ と割ると $a^r=a^k(a^m)^{-q}\in H$ 、最小性より $r=0$ 、つまり $m\mid k$ 。ゆえに $H=\langle a^m\rangle$ （巡回）。位数の対応（ $n$ の約数 $d$ ↔ 部分群 $\langle a^{n/d}\rangle$ 、位数 $d$ ）も同様に出る。∎

「約数の個数だけ部分群があり、各サイズにきっかり一つ」—— $\mathbb Z_{12}$ なら位数 $1,2,3,4,6,12$ の部分群が一つずつ。部分群の格子が約数の格子とそっくりになります。

生成元の個数

$\mathbb Z_n$ を生成する元（ $\langle a^k\rangle=\mathbb Z_n$ となる $a^k$ ）はいくつあるでしょう。ここで数論が顔を出します。

命題生成元と互いに素

$\mathbb Z_n=\langle a\rangle$ において、 $a^k$ が $\mathbb Z_n$ を生成する $\iff \gcd(k,n)=1$ 。ゆえに生成元の個数はオイラーのトーシェント関数 $\varphi(n)$ （ $n$ 以下で $n$ と互いに素な数の個数）。

証明

$a^k$ の位数は $n/\gcd(k,n)$ （ $(a^k)^m=e\iff n\mid km\iff \frac{n}{\gcd(k,n)}\mid m$ ）。これが $n$ に等しい $\iff\gcd(k,n)=1$ 。このとき $\langle a^k\rangle$ は位数 $n$ で全体。∎

$\mathbb Z_{12}$ の生成元は $\gcd(k,12)=1$ となる $k=1,5,7,11$ の $4=\varphi(12)$ 個。群論の問い（生成元の数）が、そのまま整数論の関数 $\varphi(n)$ になりました。この橋は代数的整数論や環論へ続きます。

生成系

一つの元で足りなければ、複数の元で群を「張り」ます。線形代数の生成系の群版です。

定義生成系

$S\subseteq G$ に対し、 $S$ を含む最小の部分群を $\langle S\rangle$ と書き、 $S$ を生成系、 $G=\langle S\rangle$ のとき「 $S$ が $G$ を生成する」という。 $\langle S\rangle$ は $S$ の元と逆元の有限積すべてからなる。

例： $S_n$ は互換（2つを入れ替える置換）で生成される（第9章）。 $D_n$ は回転 $r$ と鏡映 $s$ の2元で生成される。有限生成でない群（ $\mathbb Q$ の加法群など）もあります。生成元だけでなく「生成元が満たす関係」まで指定して群を定めるのが、第12章の生成元と関係式による表示です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

元の位数と群の位数は別（だが関係する）。 元の位数＝その元が生成する巡回部分群の大きさ。次章でこれが群の位数を割ると分かる。
巡回群は必ず可換だが、逆は偽。 $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ （クラインの四元群）は可換だが巡回でない（位数4の元が無い）。
$a^m=e$ は「 $m$ が位数」ではなく「位数が $m$ を割る」。 $\mathrm{ord}(a)\mid m$ 。位数は最小の正の指数。

この章のまとめ

巡回群 $\langle a\rangle$ は一元生成。元の位数＝生成する巡回部分群の大きさで、 $a^m=e\iff\mathrm{ord}(a)\mid m$ 。分類は $\mathbb Z$ か $\mathbb Z_n$ のみ。
巡回群の部分群はすべて巡回で、 $\mathbb Z_n$ では各約数 $d$ に位数 $d$ の部分群がちょうど一つ。生成元の個数は $\varphi(n)$ （数論との接点）。
複数元で張るのが生成系。生成元＋関係式で群を表示する道（第12章）へ繋がる。

次章は、部分群が群を等しい大きさに分割することを示し、群論最初の大定理——ラグランジュの定理を証明します。

第2章 巡回群と生成