第12章二次形式

「2乗の混じった関数」を、対称行列で捉える

$q(x,y)=2x^2+3xy+y^2$ のような、各項が2次の関数を二次形式といいます。楕円や双曲線の方程式、物理のエネルギー、統計の分散、そして多変数関数の極大・極小の判定——2次の量はいたるところに現れます。

これを一つ一つ計算するのは大変ですが、二次形式は対称行列一つで完全に表せます。すると前章までの武器（対角化・スペクトル定理）がまるごと使え、「この二次形式は常に正か、それとも符号が変わるか」といった問いが、対称行列の固有値の符号を見るだけで即答できます。線形代数の総まとめとして、この章は微積分の極値問題（→第10章）へ橋を架けます。

二次形式＝対称行列で表せる2次の関数。その符号は固有値の符号で読める。

二次形式と対称行列

定義二次形式

対称行列 $A$ を用いて $q(\mathbf x)=\mathbf x^\top A\mathbf x=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j$ と書ける関数を二次形式という。（ $xy$ の係数は $a_{12}=a_{21}$ に半分ずつ振り分ける。）

たとえば $2x^2+4xy+3y^2$ は $A=\begin{pmatrix}2&2\\2&3\end{pmatrix}$ （対称）で $\mathbf x^\top A\mathbf x$ 。二次形式と対称行列は一対一に対応します。ここで前章の実対称行列の直交対角化が主役になります。

定理主軸変換（直交対角化）

実対称 $A$ を直交行列 $Q$ で $Q^\top AQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ と対角化し、 $\mathbf x=Q\mathbf y$ と座標を回転すると $q(\mathbf x)=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.$ 交差項（ $xy$ 型）が消え、純粋な平方和になる。

「座標軸を固有ベクトルの向き（主軸）に回すと、混ざり合いが消える」。楕円の傾いた方程式を軸に沿った標準形に直す操作そのものです。回転しても長さが変わらない（直交行列）ので、二次形式の符号の情報は固有値にすべて移る。これで分類ができます。

正定値・半正定値

定義定符号性

すべての $\mathbf x\ne\mathbf 0$ で

$q(\mathbf x)>0$ ：正定値（ $\iff$ 全固有値 $>0$ ）
$q(\mathbf x)\ge0$ ：半正定値（ $\iff$ 全固有値 $\ge0$ ）
正の値も負の値もとる：不定符号（ $\iff$ 正と負の固有値が混在）

主軸変換で $q=\sum\lambda_iy_i^2$ になるので、符号は固有値の符号がそのまま決めます。正定値は「どの方向に動いても増える＝谷底」、不定符号は「ある方向で増え別方向で減る＝鞍」。

定理正定値の実用判定（シルヴェスター）

対称行列 $A$ が正定値 $\iff$ 左上からの主小行列式がすべて正： $\det A_1,\det A_2,\dots,\det A_n>0$ 。

固有値を求めなくても、行列式の符号だけで正定値か判定できる便利な基準です（ $2\times2$ なら「 $a_{11}>0$ かつ $\det A>0$ 」で正定値）。

慣性法則と同時対角化

対角化のとき固有値の値は基底の取り方に依りますが、符号の個数は不変です。

定理シルヴェスターの慣性法則

二次形式を（直交に限らない）座標変換で平方和 $\sum\pm y_i^2$ に直したとき、正の項の数 $p$ ・負の項の数 $q$ ・ゼロの数は変換の仕方に依らず一定。組 $(p,q)$ を符号数という。

固有値そのものは変えられても、「正がいくつ・負がいくつ」という骨格は変わらない——これが二次形式の本質的な不変量です。相対性理論の時空（符号数 $(1,3)$ ）などで基本的な役割を果たします。

定理同時対角化（一般固有値問題）

$A$ 対称、 $B$ 対称かつ正定値のとき、ある正則行列 $P$ で $P^\top AP=D$ （対角）かつ $P^\top BP=I$ に 同時にできる。これは一般固有値問題 $A\mathbf v=\lambda B\mathbf v$ を解くことに相当する。

「 $B$ を新しい内積とみなして、その正規直交基底で $A$ を対角化する」という操作。振動論（質量行列 $B$ と剛性行列 $A$ から固有振動数を出す）や、統計の判別分析で使われます。

総まとめ：線形代数から微積分へ

例多変数の極値判定（伏線回収）

微分積分学第10章の極値問題では、臨界点でのヘッセ行列 $H$ （対称）の符号で極大・極小・鞍点を判定しました。その判定こそ、 $H$ が定める二次形式の定符号性 $q(\mathbf h)=\mathbf h^\top H\mathbf h$ そのものです。 $H$ 正定値なら極小、負定値なら極大、不定符号なら鞍点。微積分の「山か谷か」は、線形代数の「固有値の符号」に完全に翻訳される。 シュワルツの定理でヘッセ行列が対称になっていたからこそ、直交対角化が使えたのです。

つまずきポイント

注意よくある誤解

二次形式の行列は対称にとる。 $xy$ の係数は $a_{12},a_{21}$ に半分ずつ。片方に寄せると固有値がずれる。
正定値 ⇒ 対角成分は正だが、逆は成り立たない。 対角成分が全部正でも不定符号でありうる。固有値または主小行列式で判定。
慣性法則が保証するのは符号の「個数」。固有値の具体的な値は座標変換で変わる。

この章のまとめ

二次形式は対称行列で表せ、主軸変換（直交対角化）で純粋な平方和 $\sum\lambda_iy_i^2$ になる。符号は固有値の符号が決める。
正定値 $\iff$ 全固有値 $>0$ （実用にはシルヴェスターの主小行列式判定）。符号数 $(p,q)$ は座標変換に依らない（慣性法則）。
二次形式の定符号性が、微積分の極値判定（ヘッセ行列）と完全に一致する。線形代数が解析へ橋を架ける。

これで線形代数学は一区切りです。ベクトル空間・写像・標準形・内積・二次形式という骨格は、関数解析（無限次元版）・微分方程式・表現論・多様体論へと、あらゆる方向に受け継がれていきます。おつかれさまでした。

第12章 二次形式