第3章剰余類とラグランジュの定理

部分群は、群をきれいに“タイル張り”する

群論で最初に現れる、そして最も使う定理がラグランジュの定理です。主張は驚くほど単純—— 部分群の大きさは、群全体の大きさを必ず割り切る。位数 $12$ の群に、位数 $5$ の部分群は存在しえない。

なぜこんなことが言えるのか。カギは、部分群 $H$ が群 $G$ を等しい大きさのかけら（剰余類）に分割することです。 $G$ が $H$ と同じサイズのタイルで隙間なく敷き詰められるなら、 $|G|$ は $|H|$ の倍数になる——直感的にはこれだけ。この「タイル張り」を厳密にするのが剰余類の理論で、そこから元の位数の制約、さらには数論のフェルマーの小定理まで、一気に流れ出します。

部分群 $H$ は $G$ を $|H|$ 個ずつの剰余類に分割する。ゆえに $|H|$ は $|G|$ を割る（ラグランジュ）。

剰余類

定義左剰余類・右剰余類

$H\le G$ と $a\in G$ に対し、 $aH=\{ah:h\in H\}$ を $a$ を含む左剰余類、 $Ha=\{ha:h\in H\}$ を右剰余類という。

左剰余類 $aH$ は「 $H$ を $a$ で平行移動したかけら」。これらが $G$ をきれいに分割することを示します。

補題剰余類は G を分割する

左剰余類の全体は $G$ の分割をなす：（a）各 $a$ は $aH$ に属す（ $a=ae$ ）。（b）2つの左剰余類は一致するか、交わらない。（c）どの左剰余類も $|H|$ と同じ大きさ。

証明

（b） $aH\cap bH\ne\emptyset$ とし $ah_1=bh_2$ とする。すると $a=bh_2h_1^{-1}\in bH$ 、任意の $ah\in aH$ は $ah=bh_2h_1^{-1}h\in bH$ なので $aH\subseteq bH$ 。対称に $bH\subseteq aH$ 、よって $aH=bH$ 。交われば一致する。（c）写像 $H\to aH,\ h\mapsto ah$ は全射で、消去律（ $ah=ah'\Rightarrow h=h'$ ）より単射。ゆえに全単射で $|aH|=|H|$ 。∎

証明の心臓は2つ。「交われば一致」（(b)）が分割を保証し、「 $h\mapsto ah$ が全単射」（(c)、消去律が効く）が 各かけらが同じ大きさを保証する。これで $G$ が $|H|$ サイズのタイルで敷き詰められました。下で確かめてください。部分群 $\langle g\rangle$ を選ぶと、 $G$ が等しい大きさの色ブロック（剰余類）に分かれます。

群部分群 ⟨g⟩ 剰余類

ラグランジュの定理

定義指数

$H\le G$ の左剰余類の個数を $H$ の指数 $[G:H]$ という。

定理ラグランジュの定理

有限群 $G$ と部分群 $H\le G$ について $|G|=[G:H]\cdot|H|.$ とくに $|H|$ は $|G|$ を割り切る。

証明

左剰余類は $G$ を分割し（補題(a)(b)）、どれも大きさ $|H|$ （補題(c)）。剰余類が $[G:H]$ 個あるので、それらの和集合＝ $G$ の要素数は $[G:H]\cdot|H|$ 。∎

たった数行。剰余類が「同じ大きさで分割する」ことさえ言えれば、割り算の関係は自動です。なお、左剰余類の個数と右剰余類の個数は等しい（ $aH\mapsto Ha^{-1}$ が全単射）ので、指数は左右で同じです。

元の位数への帰結

ラグランジュを元の位数（第2章）に適用すると、強力な制約が出ます。

系元の位数は群の位数を割る

有限群 $G$ の任意の元 $a$ について、 $\mathrm{ord}(a)$ は $|G|$ を割り切る。したがって $a^{|G|}=e$ 。

証明

$\mathrm{ord}(a)=|\langle a\rangle|$ （第2章）で、 $\langle a\rangle\le G$ だからラグランジュより $\mathrm{ord}(a)\mid|G|$ 。 $|G|=\mathrm{ord}(a)\cdot k$ と書けば $a^{|G|}=(a^{\mathrm{ord}(a)})^k=e$ 。∎

系素数位数の群は巡回群

$|G|=p$ （素数）なら $G$ は巡回群 $\mathbb Z_p$ 。特に単純（自明でない部分群をもたない）。

証明

$e\ne a\in G$ をとると $\mathrm{ord}(a)\mid p$ かつ $\mathrm{ord}(a)>1$ なので $\mathrm{ord}(a)=p$ 。よって $\langle a\rangle$ は位数 $p=|G|$ 、すなわち $G=\langle a\rangle\cong\mathbb Z_p$ 。部分群の位数は $p$ の約数 $1,p$ しかないので自明なものだけ。∎

「位数が素数なら、群の形は一つに決まる」。群の位数を素因数分解して構造を絞る——この戦略が、第8章のシロー理論で本格化します。ラグランジュはその第一歩です。

数論への応用：フェルマーの小定理

抽象的なラグランジュの定理から、整数論の古典的定理が転がり出ます。

定理オイラーの定理・フェルマーの小定理

$n$ と互いに素な整数 $a$ について $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n$ （オイラー）。特に $p$ が素数で $p\nmid a$ なら $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ （フェルマーの小定理）。

証明

$\bmod\,n$ で可逆な剰余類全体 $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ は、乗法について位数 $\varphi(n)$ の群をなす（第2章の $\varphi$ ）。 $a$ が $n$ と互いに素なら $a$ の類はこの群の元で、系「 $a^{|G|}=e$ 」より $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n$ 。 $n=p$ なら $\varphi(p)=p-1$ 。∎

フェルマーの小定理——RSA暗号の土台でもある——が、「元の位数は群の位数を割る」の一例にすぎないと分かります。整数の合同という一見別世界の話が、群の言葉で一行に収まる。抽象化のご利益です。

つまずきポイント

注意よくある誤解

ラグランジュの逆は成り立たない。 「 $d\mid|G|$ なら位数 $d$ の部分群がある」は一般には偽（位数 $12$ の交代群 $A_4$ に位数 $6$ の部分群は無い）。存在を保証するのはアーベル群やシロー部分群など特別な場合。
剰余類は部分群とは限らない。 $aH$ が部分群になるのは $a\in H$ （＝ $aH=H$ ）のときだけ。剰余類は「 $H$ をずらしたかけら」。
左剰余類と右剰余類は一般に違う。 $aH\ne Ha$ でありうる。一致するのが正規部分群（次章）。個数（指数）は左右で等しい。

この章のまとめ

部分群 $H$ は $G$ を等しい大きさの剰余類に分割する（交われば一致＋消去律で同サイズ）。ゆえに $|G|=[G:H]\cdot|H|$ （ラグランジュの定理）。
帰結：元の位数は群の位数を割る（ $a^{|G|}=e$ ）、素数位数の群は巡回で単純。位数の素因数分解で構造を絞る戦略の起点。
応用としてフェルマーの小定理・オイラーの定理が $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ への系として出る。

次章は、左右の剰余類が一致する特別な部分群——正規部分群と、それで割って作る剰余群を扱います。

第3章 剰余類とラグランジュの定理