第4章正規部分群と剰余群

剰余類の集合を、それ自身群にしたい

前章で、部分群 $H$ が群 $G$ を剰余類 $aH$ に分割することを見ました。ここで自然な欲が生まれます—— 剰余類そのものを“元”とみなして、新しい群を作れないか？ 整数を $\bmod\,n$ で丸めて $\mathbb Z_n$ を作ったように、 $G$ を $H$ で「丸めた」群 $G/H$ が作れれば、大きな群を小さくして調べられます。

積を素直に $(aH)(bH)=(ab)H$ と決めたい。ところがこれはうまく定義できないことがある。同じ剰余類でも代表元の取り方を変えると答えが変わってしまうのです。これが破綻せず well-defined になる条件——それが部分群 $H$ の正規性。正規部分群は「割り算ができる部分群」であり、群を分解して構造を理解する（第11章の組成列、ガロア理論）ための最重要概念です。

剰余類の積 $(aH)(bH)=abH$ が定義できる $\iff H$ が正規部分群。そのとき剰余群 $G/H$ が作れる。

正規部分群

定義正規部分群

$H\le G$ が正規部分群（ $H\trianglelefteq G$ ）とは、すべての $g\in G$ で $gH=Hg$ （左剰余類＝右剰余類）。同値な言い換え：すべての $g$ で $gHg^{-1}=H$ 、あるいは $gHg^{-1}\subseteq H$ 。

$gHg^{-1}$ は「 $H$ を $g$ で共役した集合」。正規性は「どの元で共役しても $H$ が自分自身に戻る」＝ $H$ が共役で不変、という意味です。前章の交流ツールで、 $D_3$ の回転部分群 $\langle r\rangle$ は正規（左右の剰余類が一致）、鏡映 $\langle s\rangle$ は正規でない（食い違う）ことを確かめられました。

命題正規性の十分条件

（a）アーベル群のすべての部分群は正規。（b）指数 $2$ の部分群は正規（ $[G:H]=2$ ）。（c）準同型（後述）の核は正規。

証明

（a） $gh=hg$ ゆえ $gH=Hg$ 。（b） $[G:H]=2$ なら左剰余類は $H$ と $G\setminus H$ の2つ、右剰余類も $H$ と $G\setminus H$ の2つ。 $g\in H$ なら $gH=H=Hg$ 、 $g\notin H$ なら $gH=G\setminus H=Hg$ 。よって正規。∎

「指数2なら自動的に正規」は頻出の道具です（第9章で交代群に使います）。

剰余群

定理剰余群

$H\trianglelefteq G$ のとき、剰余類の集合 $G/H=\{aH:a\in G\}$ は積 $(aH)(bH)=(ab)H$ で群になる（剰余群・商群）。単位元は $H=eH$ 、 $aH$ の逆元は $a^{-1}H$ 。 $|G/H|=[G:H]$ 。

証明

まず積がwell-defined（代表元によらない）を示す。 $aH=a'H,\ bH=b'H$ とすると $a'=ah_1,\ b'=bh_2\ (h_i\in H)$ 。 $a'b'=ah_1bh_2$ 。正規性より $h_1b=bh_3\ (h_3\in H,\ \text{∵}\ Hb=bH)$ だから $a'b'=abh_3h_2\in(ab)H$ 、よって $(a'b')H=(ab)H$ 。積が定義できた。結合法則は $G$ から継承、単位元 $H$ 、逆元 $a^{-1}H$ も直ちに確認できる。∎

証明で正規性がまさに well-defined 性のために使われているのが要点です（ $h_1b=bh_3$ の一歩）。正規でないと代表元を変えたとき積の剰余類がずれ、群になりません。例： $\mathbb Z/n\mathbb Z=\mathbb Z_n$ は $\mathbb Z$ を正規部分群 $n\mathbb Z$ で割った剰余群。

準同型・核・像

群どうしの「構造を保つ写像」を導入します。線形写像の群版です。

定義準同型・核・像

写像 $\varphi:G\to G'$ が準同型とは $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ （積を積へ移す）。全単射な準同型を同型という。核 $\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e'\}$ 、像 $\operatorname{im}\varphi=\{\varphi(g):g\in G\}$ 。

準同型は自動的に単位元を単位元へ、逆元を逆元へ移します（ $\varphi(e)=\varphi(ee)=\varphi(e)^2$ より $\varphi(e)=e'$ 、 $\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}$ ）。核と像は、線形代数の核・像と同じく写像の性格を映します。

命題核は正規部分群・単射判定

$\varphi:G\to G'$ を準同型とすると、 $\operatorname{im}\varphi\le G'$ 、 $\ker\varphi\trianglelefteq G$ 。そして $\varphi$ が単射 $\iff\ker\varphi=\{e\}$ 。

証明

$\operatorname{im}\varphi$ が部分群： $\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=\varphi(ab^{-1})\in\operatorname{im}\varphi$ 。 $\ker\varphi$ が部分群： $a,b\in\ker\varphi$ なら $\varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=e'e'=e'$ 。 $\ker\varphi$ が正規： $k\in\ker\varphi,\ g\in G$ で $\varphi(gkg^{-1})=\varphi(g)e'\varphi(g)^{-1}=e'$ 、よって $gkg^{-1}\in\ker\varphi$ 。単射判定：単射なら $\varphi(g)=e'=\varphi(e)\Rightarrow g=e$ 。逆に $\ker\varphi=\{e\}$ で $\varphi(a)=\varphi(b)$ なら $\varphi(ab^{-1})=e'$ ゆえ $ab^{-1}\in\ker\varphi=\{e\}$ 、 $a=b$ 。∎

「核は必ず正規部分群」——これは決定的です。逆も成り立ちます。

定理正規部分群は核である（自然な全射）

$H\trianglelefteq G$ に対し、自然な全射 $\pi:G\to G/H,\ \pi(g)=gH$ は準同型で $\ker\pi=H$ 。

証明

$\pi(ab)=(ab)H=(aH)(bH)=\pi(a)\pi(b)$ で準同型、剰余類は全部像に現れるので全射。 $\ker\pi=\{g:gH=H\}=\{g:g\in H\}=H$ 。∎

これで**「正規部分群」と「準同型の核」は完全に同じ概念**だと分かりました：核はつねに正規で、どの正規部分群も自然な全射の核。この対応が、次章の同型定理の土台になります。

つまずきポイント

注意よくある誤解

正規性は「元が可換」ではなく「集合として不変」。 $gHg^{-1}=H$ は「 $gh=hg$ （元ごと）」より弱く、 $ghg^{-1}\in H$ （別の $H$ の元でよい）を要求するだけ。
剰余群 $G/H$ は $H$ が正規のときだけ。 正規でないと積が well-defined にならない。剰余類の集合 $G/H$ は常にあるが、群になるとは限らない。
準同型は単位元・逆元を保つ（要求せずとも従う）。 積さえ保てば $\varphi(e)=e'$ 等は自動。

この章のまとめ

正規部分群 $H\trianglelefteq G$ （ $gHg^{-1}=H$ 、左右剰余類が一致）は「割れる部分群」。アーベル群の部分群・指数2の部分群・準同型の核は正規。
正規のとき剰余群 $G/H$ が積 $(aH)(bH)=abH$ で作れる（well-defined 性に正規性が本質）。 $\mathbb Z_n=\mathbb Z/n\mathbb Z$ が原型。
準同型は積を保つ写像。核は必ず正規部分群で、逆にどの正規部分群も自然な全射 $\pi:G\to G/H$ の核。正規部分群と核は同じもの。

次章は、この核・像・剰余群を結びつける群論の背骨——同型定理（第一〜第三）を証明します。

第4章 正規部分群と剰余群